Listas de IAL - UnB de Introdução à Álgebra Linear da UnB - Lista 1

10) O sistema seguinte não tem solução para quais valores de ? Exatamente uma solução? Infinitas soluções?

Reduza

à forma escalonada reduzida por linhas sem introduzir quaisquer frações.

Para que valor(es) de o sistema de equações

tem soluções não-triviais?

Mostre que se , então a forma escalonada reduzida por linhas de

Use a parte (a) para mostrar que o sistema

tem exatamente uma solução quando .

Resolva a seguinte equação matricial em termos de , , e .

Encontre as matrizes , e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

(a)

Encontre as matrizes , e que expressem o sistema de equações lineares dado como uma única equação matricial .

(b)

Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(a)

Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(b)

Calcule as inversas das seguintes matrizes:

(c)

Encontre a inversa de

Encontre a inversa de

19) Considere a matriz

Onde . Mostre que é invertível e encontre a sua inversa.

1) Quais dos seguintes sistemas são lineares em e ?

a)

1) Quais dos seguintes sistemas são lineares em e ?

b)

1) Quais dos seguintes sistemas são lineares em e ?

c)

1) Quais dos seguintes sistemas são lineares em e ?

d)

20) Mostre que se uma matriz quadrada satisfaz , então .

21) A soma de matrizes invertíveis é invertível?

22) Sejam e matrizes quadradas tais que . Mostre que se é invertível, então .

23) (a) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .

23) (b) Encontre uma matriz não-nula de tamanho tal que .

24) Uma matriz quadrada é dita simétrica se e anti-simétrica se . Mostre que se é uma matriz quadrada, então:

(a) e são simétricas.

25) Quais das seguintes matrizes são elementares:

25) Quais das seguintes matrizes são elementares:

26) Encontre uma operação sobre as linhas que retorne a matriz elementar dada a uma matriz identidade.

27) Considere as matrizes:

Encontre matrizes elementares e tais que:

(a)

27) Considere as matrizes:

Encontre matrizes elementares e tais que:

(b)

27) Considere as matrizes:

Encontre matrizes elementares e tais que:

(c)

27) Considere as matrizes:

Encontre matrizes elementares e tais que:

(d)

28) Encontre a inversa das matrizes:

28) Encontre a inversa das matrizes:

28) Encontre a inversa das matrizes:

28) Encontre a inversa das matrizes:

28) Encontre a inversa das matrizes:

Encontre a inversa das matrizes:

Encontre a inversa das matrizes:

Encontre a inversa das matrizes:

Encontre a inversa das matrizes:

Mostre que é não-invertível para quaisquer valores das entradas.

2) Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes equações lineares.

a)

2) Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes equações lineares.

b)

2) Encontre o conjunto solução de cada uma das seguintes equações lineares.

c)

Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(a)

Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(b)

Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(c)

Resolva o sistema invertendo a matriz dos coeficientes:

(d)

Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(a)

Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(b)

Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(c)

Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.

(d)

Considere as matrizes:

e

(a) Mostre que a equação pode ser escrita como e use este resultado para resolver em .

33) Seja um sistema homogêneo de equações lineares e incógnitas cuja única equação é a trivial. Mostre que se é um qualquer inteiro positivo, então o sistema também só tem a solução trivial.

34) Seja um sistema de equações lineares consistente e seja uma solução fixada. Mostre que qualquer solução do sistema pode ser escrita na forma , onde é a solução de . Mostre também que qualquer matriz dessa forma é uma solução.

35) Quais das seguintes matrizes são simétricas.

36) Encontre todos os valores de , e para os quais a matriz é simétrica.

37) Encontre todos os valores de e para os quais e são ambas não invertíveis.

38) Seja uma matriz simétrica.

(a) Mostre que é simétrica.

38) Seja uma matriz simétrica.

(b) Mostre que é simétrica.

39) Prove: se , então é simétrica e .

4) Mostre que as equações e têm o mesmo conjunto-solução, então as equações são idênticas.

40) Uma matriz quadrada é chamada anti-simétrica se . Prove:

(a) Se é uma matriz anti-simétrica invertível, então é anti-simétrica.

Para quais valores da constante o sistema:

Não tem solução? Exatamente uma solução? Infinitas soluções? Explique o seu raciocínio.

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

a)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

b)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

c)

Nos itens abaixo, suponha que a matriz aumentada de um sistema de equações lineares foi reduzida por operações sobre linhas à forma escalonada. Resolva o sistema.

d)

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

a)

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

b)

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

c)

Resolva cada um dos seguintes sistemas por eliminação de Gauss-Jordan:

d)

Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

a)

Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

b)

Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

c)

9) Resolva os seguintes sistemas, , e são constantes.

a)

9) Resolva os seguintes sistemas, , e são constantes.

b)