UnB – Introdução à Álgebra Linear – Lista 1, 12
Para que valor(es) de o sistema de equações
tem soluções não-triviais?
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado pede pra gente verificar os valores de quando o sistema tem soluções não-triviais. Mas quando é que um sistema tem soluções não-triviais?
Bom, existe um teorema que nos diz que um sistema linear e homogêneo com o mesmo número de equações e de incógnitas tem uma solução não trivial se, e só se, o determinante da matriz de coeficientes é zero.
Beleza, então a primeira coisa a fazer é calcular esse determinante. Mas qual é nossa matriz de coeficientes? Vamos extrair ela do sistema:
Escrevendo os coeficientes de e em forma de matriz, temos:
Para calcular o determinante dessa matriz basta multiplicar a diagonal principal e subtrair a diagonal secundária. Assim:
Mas não podemos esquecer da condição do sistema ter soluções não-triviais. Então, vamos igualar esse determinante a zero:
E aí chegamos nessa equação do segundo grau:
Passo 2
Agora, para descobrir os valores de , vamos calcular as raízes dessa equação:
Usando Bhaskara:
Então, temos nossa primeira raiz:
E a segunda raiz:
Então, podemos dizer que são os valores para os quais o sistema tem soluções não-triviais.
E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉