UnB – Introdução à Álgebra Linear – Lista 1, 13b
Use a parte (a) para mostrar que o sistema
tem exatamente uma solução quando .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Nós precisamos usar a parte que já demonstramos no item (a), para mostrar que o sistema tem uma solução.
Nosso sistema tem a forma:
Escrevendo esse sistema em uma matriz aumentada, nós temos:
Nós vimos no item (a), que dá pra chegar à matriz identidade fazendo algumas operações com esse sistema. Então, temos:
Agora, olha só, se eu voltar para a notação de sistema de equações, eu vou ter:
Só peguei os coeficientes ali (, ) e igualei com o resultado.
Bom, então nós temos um fator nulo , e a condição . Como é igual a , e a equação precisa ser diferente de zero, isso significa que nem nem podem ser nulos. Porque,
Para ,
Passo 2
Só para ficar mais claro, se operarmos o sistema:
Vamos dividir a linha 1 por :
Multiplicando a linha 1 por e subtraindo da linha 2:
Dividindo a linha 2 por :
E, por fim, trocando a linha 1 com a linha 2:
Temos novamente a matriz identidade. Portanto, a condição garante que o sistema tenha apenas uma solução dessa forma.
Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉