UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 31d
Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.
(d)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?
Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.
E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se for uma matriz , então é consistente com cada matriz de tamanho ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz .
Vamos lá!
Passo 2
Olhando para o nosso sistema,
Vamos escrever sua matriz aumentada:
E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de .
Vamos começar multiplicando a primeira linha por e somando à segunda linha:
Agora vamos multiplicar a primeira linha por e somar com a terceira:
Em seguida, vamos multiplicar a primeira linha por e somar com a quarta linha:
Agora vamos multiplicar a segunda linha por e somar com a terceira:
E podemos também somar a quarta com a segunda linha:
Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.
Passo 3
Podemos pegar a terceira linha e escrever seus coeficientes:
Então,
Isolando :
E da quarta linha, temos de maneira análoga:
Isolando ,
Substituindo o que encontramos da terceira linha, temos:
Agora substituindo na equação , temos:
Para expressar essa condição de uma outra maneira, é consistente se, e só se, é uma matriz da forma:
E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉