Resolva os seguintes sistemas homogêneos de equações lineares por qualquer método:

b)

3 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0

5 x 1 - x 2 + x 3 - x 4 = 0

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado fala que podemos resolver o sistema por qualquer método. Então, vamos resolver pelo método da eliminação gaussiana, já que as duas equações vão ser simples de escalonar.

A primeira coisa que temos que fazer é escrever a matriz aumentada do sistema:

3 1 1 1 0 5 - 1 1 - 1 0

Vamos chamar a linha de L e escrever cada operação entre uma matriz e outra na forma:

L   q u e   s e r á   a l t e r a d a → O p e r a ç ã o

Para dar mais fluidez ao exercício. Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar transformando nosso primeiro elemento pivô em 1:

3 1 1 1 0 5 - 1 1 - 1 0 ⟶ L 1 → 1 3 L 1 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 5 - 1 1 - 1 0

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do pivô:

1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 5 - 1 1 - 1 0 ⟶ L 2 → L 2 - 5 L 1 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 - 8 / 3 - 2 / 3 - 8 / 3 0

Vamos multiplicar a linha 2 por - 3 / 8 :

1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 - 8 / 3 - 2 / 3 - 8 / 3 0 ⟶ L 2 → - 3 8 L 2 1 1 / 3 1 / 3 1 / 3 0 0 1 1 / 4 1 0

Passo 3

Já temos algo mais parecido com a matriz identidade, então vamos converter a matriz para um sistema linear novamente:

x 1 + 1 3 x 2 + 1 3 x 3 + 1 3 x 4 = 0 x 2 + 1 4 x 3 + x 4 = 0

Resolvendo a segunda equação, temos:

x 2 + 1 4 x 3 + x 4 = 0

x 2 = - 1 4 x 3 - x 4

Substituindo na primeira:

x 1 + 1 3 - 1 4 x 3 - x 4 + 1 3 x 3 + 1 3 x 4 = 0

x 1 = - 1 3 - 1 4 x 3 - x 4 - 1 3 x 3 - 1 3 x 4

x 1 = 1 12 x 3 + 1 3 x 4 - 1 3 x 3 - 1 3 x 4

x 1 = - 1 4 x 3

Vamos expressar a solução geral do sistema parametricamente, associando valores arbitrários s e t às variáveis livres x 3 e x 4 . Dessa forma,

x 3 = s

x 4 = t

E temos:

x 1 = - 1 4 s

x 2 = - 1 4 x 3 - x 4 = - 1 4 s - t

Logo, nosso conjunto solução será:

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = - 1 4 s , - 1 4 s - t ,   s ,   t

E encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

x 1 ,   x 2 ,   x 3 ,   x 4 = - 1 4 s , - 1 4 s - t ,   s ,   t

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