UnB – Introdução à Álgebra Linear – Listas de IAL, Lista 1, 31c
Encontre condições que a constante deve satisfazer para que o sistema seja consistente.
(c)
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
Nós precisamos encontrar condições que satisfaçam o sistema, usando a constante , para que esse sistema seja consistente. Mas o que é um sistema consistente?
Em geral, dizemos que um sistema linear é consistente se possuir pelo menos uma solução, e inconsistente se não tiver solução.
E aí, nós temos um teorema que nos diz que “se for uma matriz , então é consistente com cada matriz de tamanho ”. Então o que nós vamos fazer é encontrar essa matriz .
Vamos lá!
Passo 2
Olhando para o nosso sistema,
Vamos escrever sua matriz aumentada:
E vamos reduzi-la a forma escalonada para encontrar os valores de .
Vamos começar multiplicando a primeira linha por e somando à segunda e à terceira linha:
Agora vamos multiplicar a segunda linha por :
Em seguida, vamos somar a segunda e terceira linha:
Por fim, vamos multiplicar a última linha por :
Agora já dá pra gente tirar algumas respostas da matriz.
Passo 3
Nesse caso, como não tivemos nenhuma linha inteira igual a zero, não há restrições sobre , e . Desse modo o sistema tem solução única:
Substituindo uma equação na outra, nós encontramos:
Mas isso é a título de curiosidade, porque o que importa mesmo é perceber que como não há restrições sobre , e , o sistema tem solução única com quaisquer valores de e sempre será consistente.
E encerramos o exercício. Até a próxima, galera! 😉