Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em torno de x 0 dado:

b. f x = cos ⁡ 3 x ,   x 0 = 0 ;

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 1 de uma função f ( x ) em torno de x 0 é dado pela fórmula:

P 1 x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ x - x 0

Nesse caso, a função dada é   f x = cos ⁡ 3 x   e   x 0 = 0 .

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f ( x )

  f x =   cos ⁡ 3 x

f ' x = - 3 sin ⁡ ( 3 x )

Passo 2

Agora, vamos calcular   f ( x 0 )   e   f ' ( x 0 ) :

f 0 = cos ⁡ ( 3 ⋅ 0 ) = cos ⁡ ( 0 ) = 1  

  f ' 0 = - 3 sin ⁡ ( 3 ⋅ 0 ) = - 3 sin ⁡ 0 = 0

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P 1 ( x ) =   f 0 +   f ' 0 ⋅ x   -   0

P 1 ( x ) = 1 + 0 ⋅ x

P 1 ( x ) = 1

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 1 da função f x = cos ⁡ 3 x   em torno de x 0 = 0 é

P 1 ( x ) = 1

Isso é uma aproximação linear da função f ( x ) próximo ao ponto x 0 é constante igual a 1.

Resposta

P 1 ( x ) = 1

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