Calcule o polinômio de Taylor de ordem 1 da função dada, em torno de x₀ dado:

c.

f(x) = 1 / (1 + x), x₀ = 0

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 1 de uma função f ( x ) em torno de x 0 é dado pela fórmula:

P 1 x = f x 0 + f ' x 0 ⋅ x - x 0

Nesse caso, a função dada é   f x = 1 1 + x   e   x 0 = 0 .

Primeiro, vamos calcular a derivada da função f ( x )

  f x =   1 1 + x

f ' x = - 1 1 + x 2

Passo 2

Agora, vamos calcular   f ( x 0 )   e   f ' ( x 0 ) :

f 0 = 1 1 + x = 1 1 + 0 = 1

  f ' 0 = - 1 1 + x 2 = - 1 1 + 0 2 = - 1

Agora, podemos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P 1 ( x ) =   f 0 +   f ' 0 ⋅ x   -   0

P 1 x = 1 - x

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 1 da função f x = 1 1 + x   em torno de x 0 = 0 é

P 1 x = 1 - x

Isso é uma aproximação linear da função f ( x ) próximo ao ponto x 0 .

Resposta

P 1 x = 1 - x

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