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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

Calcule os polinômios de Taylor de ordem um, dois e três da função y = f x = x + 1 em a = 0 e da função y = g x = ln ⁡ x em x = 1 . A seguir, calcule os valores destas aproximações em x = 0,2 e x = 1,0 e compare com os valores corretos.

Passo 1

Vamos começar fazendo o polinômio de grau 1 .

A primeira coisa a fazer é achar a derivada de ordem 1 dessa função

f ' x = 1 2 x + 1

Agora temos que achar essa derivada e a função no ponto x = 0

f 0 = 0 + 1 = 1

f ' 0 = 1 2 0 + 1 = 1 2

Passo 2

Temos agora que achar cada parcela do polinômio

f 0 = 1

f ' 0 x - 0 1 1 ! = 1 2 x - 0 1 = x 2

Passo 3

O polinômio vai ficar

P 1 x = 1 + x 2

Passo 4

Vamos agora para o de grau 2

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 2 da função f x

f ' x = 1 2 x + 1

f ' ' x = - 1 4 x + 1 3 / 4

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função

f 0 = 0 + 1 = 1

f ' 0 = 1 2 0 + 1 = 1 2

f ' ' 0 = - 1 4 0 + 1 3 / 4 = - 1 4

Passo 5

Agora temos que achar cada termo da função

f 0 = 1

f ' 0 x - 0 1 1 ! = 1 2 x - 0 1 = x 2

f ' ' 0 x - 0 2 2 ! = - 1 4 x 2 2 = - x 2 8

Passo 6

O polinômio vai ficar

P 2 x = 1 + x 2 - x 2 8

Passo 7

Vamos agora para o de grau 3

A primeira coisa que temos que fazer é achar as derivadas até ordem 3 da função f x

f ' x = 1 2 x + 1

f ' ' x = - 1 4 x + 1 3 / 4

f ' ' ' x = 3 8 1 + x 5 / 2

Agora temos que achar essas derivadas no ponto que ele deu, além da própria função

f 0 = 0 + 1 = 1

f ' 0 = 1 2 0 + 1 = 1 2

f ' ' 0 = - 1 4 0 + 1 3 / 4 = - 1 4

f ' ' ' 0 = 3 8 1 + 0 5 / 2 = 3 8

Passo 8

Agora temos que achar cada termo da função

f 0 = 1

f ' 0 x - 0 1 1 ! = 1 2 x - 0 1 = x 2

f ' ' 0 x - 0 2 2 ! = - 1 4 x 2 2 = - x 2 8

f ' ' ' 0 x - 0 3 3 ! = 3 8 x 3 6 = x 3 16

Passo 9

O polinômio vai ficar

P 3 x = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16

Passo 10

Vamos achar os polinômios nos valores que ele pediu

P 1 0,2 = 1 + 0,2 2 = 1,1

P 2 0,2 = 1 + 0,2 2 - 0,2 2 8 = 1,095

P 3 0,2 = 1 + 0,2 2 - 0,2 2 8 + 0,2 3 16 = 1,0955

O valor da função vai ser

f 0,2 = 0,2 + 1 = 1,2 ≅ 1,9545

Usamos uma calculadora para essa raiz. Podemos ver que quanto maior o grau do polinômio mais preciso vai ser o polinômio.

Passo 11

Vamos achar os polinômios nos valores que ele pediu

P 1 1 = 1 + 1 2 = 1,5

P 2 1 = 1 + 1 2 - 1 2 8 = 1,375

P 3 1 = 1 + 1 2 - 1 2 8 + 1 3 16 = 1,4375

O valor da função vai ser

f 1 = 1 + 1 = 2 ≅ 1,41421

Usamos uma calculadora para essa raiz. Podemos ver que quanto maior o grau do polinômio mais preciso vai ser o polinômio. Além disso, vemos que num valor mais perto do ponto que ele disse, a = 0 mais preciso vai ser o polinômio.

Resposta

P 1 x = 1 + x 2

P 2 x = 1 + x 2 - x 2 8

P 3 x = 1 + x 2 - x 2 8 + x 3 16

P 1 0,2 = 1,1

P 2 0,2 = 1,095

P 3 0,2 = 1,0955

P 1 1 = 1,5

P 2 1 = 1,375

P 3 1 = 1,4375

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
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Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0