Qual é a definição da série de Taylor de uma função?

Use a série de Taylor da função s i n ⁡ ( x ) para calcular f 10 ( 0 ) onde f : R → R é uma função dada por

f x = x s e n ( x 3 )

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício? Vamos lá.

A definição da série de Taylor é:

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ( a ) n ! ( x - a ) n

Porém, o enunciado pede para a gente usar a série de Taylor da função s e n ( x ) como referência, então teremos:

s e n x = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Ok, mas a função pedida do enunciado é

f x = x s e n ( x 3 )

Então vamos ter que fazer algumas alterações.

Passo 2

Para começar, temos x ³ dentro do seno, então vamos usar:

s e n x ³ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) !

Além disso, temos um x multiplicando a função, então:

x s e n x ³ = ∑ n = 0 ∞ ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x

Show, já temos a função de Taylor da função pedida no enunciado, agora vamos atrás da nossa f 10 ( 0 ) :

f 10 0 = ( - 1 ) n x 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! x

f 10 0 = ( - 1 ) 10 0 3 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 0

f 10 0 = 0

Resposta

f 10 0 = 0

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0