Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para cada uma das funções abaixo, em torno

de x₀ dado:

a. f(x) = ln(1 + x), x0 = 0

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = ln ⁡ ( 1 + x ) em torno de x 0 pode ser calculado usando a fórmula geral do polinômio de Taylor:

P x =   f x 0 +   f ' x 0 x   -   x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função f x = ln ⁡ ( 1 + x )

1. f x = ln ⁡ ( 1 + x )

2. f ' x = 1 / ( 1 + x )

3. f ' ' x = - 1 1 + x 2

Passo 2

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P x =   f 0 +   f ' 0 x   + f ' ' 0 2 x 2

Substituindo os valores das derivadas no ponto x 0 = 0

f ( 0 )   = l n ( 1 + 0 )   = l n ( 1 )   =   0

f ' 0 = 1 1 + 0 = 1

f ' ' 0 =   - 1 1 + 0 2 = - 1

Agora, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = ln ⁡ ( 1 + x )   em torno de x 0 = 0 é:

P x =   0   +   1 ⋅   x   +   - 1 2 x 2   =   x   - 1 2 x 2

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = ln ⁡ 1 + x em torno de x 0 é

P x =   x   - 1 2 x 2

Resposta

P x =   x   - 1 2 x 2

Exercícios de Livros Relacionados