USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 3, Questão 1.3c
Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para cada uma das funções abaixo, em torno
de dado:
c.
Passo 1
Para determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de podemos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor:
Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função
1.
2.
3.
Passo 2
Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:
Substituindo os valores das derivadas no ponto
Agora, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de é:
Passo 3
Simplificando:
Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função em torno de é
Resposta
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0