Determine o polinômio de Taylor de ordem 2 para cada uma das funções abaixo, em torno

de x_0 dado:

c. f(x) = raiz(x), x0 = 4

Passo 1

Para determinar o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = x em torno de x 0 = 4 , podemos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor:

P x =   f x 0 +   f ' x 0 x   -   x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função f x = ln ⁡ ( 1 + x )

1. f x = x

2. f ' x = 1 / 2 x

3. f ' ' x = - 1 4 x x

Passo 2

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P x =   f 4 +   f ' 4 ( x - 4 )   + f ' ' 4 2 x - 4 2

Substituindo os valores das derivadas no ponto x 0 = 4

f 4 = 4 = 2

f ' 4 = 1 2 4 = 1 4

f ' ' ( 4 )   =   - 1 4 ⋅ 4 ⋅ 4   =   - 1 32

Agora, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = x em torno de x 0 = 4 é:

P x =   2   + 1 4 x   -   4 - 1 32 x   -   4 2

Passo 3

Simplificando:

P x =   2   + 1 4 x - 1 - 1 32 x 2 - 1 8 x + 1 8 ⋅ 16

P x = - 1 8 x 2 + 5 4 x + 9 2

Portanto, o polinômio de Taylor de ordem 2 para a função f x = x em torno de x 0 = 4 é

P x = - 1 8 x 2 + 5 4 x + 9 2

Resposta

P x = - 1 8 x 2 + 5 4 x + 9 2

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