USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 3, Questão 1.8
Determine o polinômio de Taylor de ordem n de em torno de . Em seguida,
avalie e com erro em módulo inferior a
Mostre que, para todo ,
Agora, avalie com erro inferior a .
Passo 1
Vamos abordar cada parte separadamente:
Polinômio de Taylor de ordem n de de
O polinômio de Taylor de ordem n da função em torno de pode ser calculado usando a fórmula geral do polinômio de Taylor:
Para a função , todas as derivadas são iguais a .
Portanto, as derivadas em também serão iguais a
O polinômio de Taylor de ordem n será:
Passo 2
Mostrando a desigualdade para
Vamos considerar a série de Taylor da função em torno de
Aqui, é o resto da série de Taylor.
A desigualdade que queremos provar é:
Passo 3
Agora, vamos observar a diferença entre os dois lados:
Isso pode ser reescrito como:
Agora, notamos que os termos em cada termo podem ser agrupados e fatorados:
A parte entre parênteses é exatamente o resto da série de Taylor para
Portanto, temos:
Passo 4
Agora, observamos que é o resto da série de Taylor para , então, por definição,
onde está entre 0 e
Isso nos leva a:
Como é positivo e está entre 0 e , podemos concluir que é no máximo
Portanto, a desigualdade é demonstrada:
Passo 5
Avaliando com erro inferior a
Sabemos que a série de Taylor para é:
Para avaliar a integral de no intervalo podemos integrar termo a termo a série de Taylor:
Passo 6
A integral de cada termo é direta, e a integral de se torna uma soma infinita de termos cada vez menores:
Agora, vamos avaliar o erro usando o resto da série de Taylor:
Se quisermos que o erro seja inferior a , precisamos encontrar tal que:
O valor de necessário dependerá da precisão desejada e do valor específico de mas em geral, escolhendo um valor suficientemente grande de , podemos garantir que o erro seja menor que
Resposta
O valor de necessário dependerá da precisão desejada e do valor específico de mas em geral, escolhendo um valor suficientemente grande de , podemos garantir que o erro seja menor que