Encontre o polinômio de Taylor de ordem 5 de f(x) = raiz(x, 3) em volta de x₀ = 1 .

Passo 1

Para encontrar o polinômio de Taylor de ordem 5 da função f x = x 3 em torno de x 0 = 1 vamos usar a fórmula geral do polinômio de Taylor:

P x = f x 0 + f ' x 0 x - x 0 + f ' ' x 0 2 ! x - x 0 2 + f ' ' ' x 0 3 ! x - x 0 3 + f ' ' ' ' x 0 4 ! x - x 0 4 + f ' ' ' ' ' x 0 5 ! x - x 0 5

Primeiro, vamos calcular as derivadas necessárias da função \(f(x) = \sqrt[3]{x}\):

1 .   f x = x 3

2 .   f ' x = 1 / 3 x 2 / 3

3 .   f ' ' x = - 2 / 9 x 5 / 3

4 .   f ' ' ' x = 10 / 27 x 8 / 3

5 .   f ' ' ' ' x = - 80 / 81 x 11 / 3

6 .   f ' ' ' ' ' x = 440 / 243 x 14 / 3

Passo 2

Agora, vamos substituir esses valores na fórmula do polinômio de Taylor:

P x = f 1 + f ' 1 x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2 + f ' ' ' 1 3 ! x - 1 3 + f ' ' ' ' 1 4 ! x - 1 4 + f ' ' ' ' ' 1 5 ! x - 1 5

Substituindo os valores das derivadas no ponto \ x 0 = 1

1 .   f 1 = 1 3 = 1

2 .   f ' 1 = 1 3 ⋅ 1 2 3 = 1 3

3 .   f ' ' 1 = - 2 9 ⋅ 1 5 3 = - 2 9

4 .   f ' ' ' 1 = 10 27 ⋅ 1 8 3 = 10 27

5 .   f ' ' ' ' 1 = - 80 81 ⋅ 1 11 3 = - 80 81

6 .   f ' ' ' ' ' 1 = 440 243 ⋅ 1 14 3 = 440 243

Agora, o polinômio de Taylor de ordem 5 para a função f x = x 3 em torno de x 0 = 1 é:

P x = 1 + 1 3 x - 1 - 1 2 ⋅ 2 9 x - 1 2 + 1 3 ! ⋅ 10 27 x - 1 3 - 1 4 ! ⋅ 80 81 x - 1 4 + 1 5 ! ⋅ 440 243 x - 1 5

Resposta

P x = 1 + 1 3 x - 1 - 1 2 ⋅ 2 9 x - 1 2 + 1 3 ! ⋅ 10 27 x - 1 3 - 1 4 ! ⋅ 80 81 x - 1 4 + 1 5 ! ⋅ 440 243 x - 1 5

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