Mostre que:
c.
Passo 1
Para mostrar a desigualdade para , vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial centrada em
A expansão em série de Taylor da função exponencial é dada por:
Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:
Vamos avaliar a desigualdade nos limites do intervalo
1. Quando
E, claro,
Portanto, a desigualdade é verdadeira quando
Passo 2
2. Quando
Portanto, a desigualdade superior não é garantida para
Agora, vamos considerar
Usando a expansão de Taylor de temos:
Passo 3
Uma vez que podemos concluir que os termos de ordem superior são todos positivos.
Portanto, temos:
E, como , temos o que nos leva a:
Concluindo, para a desigualdade é verdadeira.
Resposta
Vide o passo a passo.