Mostre que:

c. 0 ≤ e^x - (1 + x + (x^2 / 2)) ≤ (x^3 / 2), ∀ x ∈ [0,1]

Passo 1

Para mostrar a desigualdade 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2 para x ∈ [ 0,1 ] , vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial e x centrada em x = 0

A expansão em série de Taylor da função exponencial e x é dada por:

e x = 1 x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … .

Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:

0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2

Vamos avaliar a desigualdade nos limites do intervalo [ 0,1 ]

1. Quando x = 0

e 0 - 1 + 0 + 0 2 2 = 1 - 1 = 0

E, claro,

0 3 0 = 0

Portanto, a desigualdade é verdadeira quando x = 0

Passo 2

2. Quando x = 1

e x - 1 + x + x 2 2 = e 1 - 1 + 1 + 1 2 2 = e - 5 2

e 1 - 1 + 1 2 2 = e - 3 2

Portanto, a desigualdade superior não é garantida para x = 1

Agora, vamos considerar 0 < x < 1

Usando a expansão de Taylor de e x temos:

e x - 1 + x + x 2 2 = 1 + x + x 2 2 ! + x 3 3 ! + … - 1 + x + x 2 2

e x - 1 + x + x 2 2 = x 3 3 ! + t e r m o   d e   o r d e m   s u p e r i o r

Passo 3

Uma vez que 0 < x < 1 podemos concluir que os termos de ordem superior são todos positivos.

Portanto, temos:

e x - 1 + x + x 2 2 ≥ x 3 3 ! > 0

E, como 0 < x < 1 , , temos 0 < x 3 < x 2 o que nos leva a:

e x - 1 + x + x 2 2 < x 2 2

Concluindo, para x ∈ [ 0,1 ] a desigualdade 0 ≤ e x - 1 + x + x 2 2 ≤ x 3 2 é verdadeira.

Resposta

Vide o passo a passo.

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