USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 3, Questão 1.5c
Mostre que:
c.
Passo 1
Para mostrar a desigualdade para , vamos utilizar a expansão em série de Taylor da função exponencial centrada em
A expansão em série de Taylor da função exponencial é dada por:
Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:
Vamos avaliar a desigualdade nos limites do intervalo
1. Quando
E, claro,
Portanto, a desigualdade é verdadeira quando
Passo 2
2. Quando
Portanto, a desigualdade superior não é garantida para
Agora, vamos considerar
Usando a expansão de Taylor de temos:
Passo 3
Uma vez que podemos concluir que os termos de ordem superior são todos positivos.
Portanto, temos:
E, como , temos o que nos leva a:
Concluindo, para a desigualdade é verdadeira.
Resposta
Vide o passo a passo.
Exercícios de Livros Relacionados
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0