Mostre que:

b. | cos(x) - (1 - (x^2 / 2)) ≤ (|x|^3 / 3!), ∀ x ∈ R

Passo 1

Para mostrar a desigualdade cos ⁡ x - 1 - x 2 2 ≤ x 3 3 ! ,   ∀ x ∈ R para x ∈ R vamos usar uma propriedade importante da função cosseno e a expansão em série de Taylor.

A expansão em série de Taylor da função cosseno centrada em \(x = 0\) é dada por:

cos ⁡ ( x ) = 1 - x 2 2 + x 4 4 ! - x 6 6 ! + … .

Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:

cos ⁡ x - 1 - x 2 2 ≤ x 3 3 !

Passo 2

Vamos considerar dois casos: x = 0   e   x ≠ 0 .

1. Quando x = 0 :

cos ⁡ 0 - 1 - 0 2 2 = 1 - 1 = 0

E, claro, 0 3 3 ! Portanto, a desigualdade é verdadeira quando x = 0

2. Quando x ≠ 0

cos ⁡ x - 1 - x 2 2 = cos ⁡ x - 1 + x 2 2

Vamos usar a expansão de Taylor para o cosseno para reescrever o lado esquerdo da desigualdade:

cos ⁡ x - 1 + x 2 2 = 1 - x 2 2 - 1 + x 2 2 = - x 2 2 = x 2 2

Passo 3

Agora, comparando x 2 / 2 com x 3 / 3 ! , podemos observar que para x ≠ 0 ,   x 2 ≤ | x 3 | uma vez que x é positivo e a função | x 2 | cresce mais devagar do que | x 3 | para valores não nulos de x

Portanto, x 2 / 2 ≤ x 3 / 3 ! , o que implica na desigualdade desejada.

Concluindo, para todos os valores de x ∈ R a desigualdade

cos ⁡ x - 1 - x 2 2 ≤ x 3 3 !

é verdadeira.

Resposta

Vide o passo a passo.

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