USP, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - USP - Lista 3, Questão 1.5b
Mostre que:
b.
Passo 1
Para mostrar a desigualdade para vamos usar uma propriedade importante da função cosseno e a expansão em série de Taylor.
A expansão em série de Taylor da função cosseno centrada em \(x = 0\) é dada por:
Agora, considerando a desigualdade que queremos demonstrar:
Passo 2
Vamos considerar dois casos:
1. Quando :
E, claro, Portanto, a desigualdade é verdadeira quando
2. Quando
Vamos usar a expansão de Taylor para o cosseno para reescrever o lado esquerdo da desigualdade:
Passo 3
Agora, comparando com , podemos observar que para uma vez que é positivo e a função cresce mais devagar do que para valores não nulos de
Portanto, , o que implica na desigualdade desejada.
Concluindo, para todos os valores de a desigualdade
é verdadeira.
Resposta
Vide o passo a passo.