Mostre que

∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x - 1 - 1 5.2 ! + 1 9.4 ! - 1 13.6 ! ≤ 1 15.7 !

Passo 1

Para mostrar a desigualdade dada, vamos começar observando a série de Taylor para a função cos ⁡ ( x 2 ) em torno de x = 0

c o s x 2 = 1   - x 2 2 !   + x 4 4 !   - x 6 6 !   + …

Agora, vamos focar na diferença entre a integral definida ∫ 0 1 cos ⁡ x 2 d x e a soma parcial da série de Taylor:

S n = 1 - 1 2 ! + 1 4 ! - 1 6 ! + … + - 1 n 1 2 n !

Passo 2

Podemos expressar essa diferença como:

Δ = ∫ 0 1 cos ⁡ ( x 2 ) d x - S n

Para avaliar essa diferença, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais. De acordo com esse teorema, existe um valor \(c\) no intervalo [ 0,1 ] tal que:

Δ = cos ⁡ c 2 1 - - 1 n 2 n + 1 ! c 2 n + 1  

Aqui, c   está entre 0 e 1, então 0 ≤ c 2 ≤ 1 , e podemos dizer que 0 ≤ cos ⁡ c 2 ≤ 1 .

Passo 3

Isso nos leva a:

Δ = cos ⁡ c 2 1 - - 1 n 2 n + 1 ! c 2 n + 1 ≤ 1 2 n + 2 ! c 2 n + 1

Agora, queremos mostrar que | Δ | é menor ou igual a 1 / 15 ! 7

Δ ≤ 1 2 n + 1 ! c 2 n + 1 ≤ 1 2 n + 2 ! ≤ 1 15 ! 7

Portanto, mostramos que Δ ≤   1 / 15 ! 7 ) , o que significa que:

∫ 0 1 cos ⁡ ( x 2 ) d x - ( 1 - 1 15.2 ! + 1 9.4 ! - 1 13.6 ! ) ≤ 1 15 ! 7

Essa desigualdade foi demonstrada.

Resposta

Essa desigualdade foi demonstrada no passo a passo.

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