Mostre que
Passo 1
Para mostrar a desigualdade dada, vamos começar observando a série de Taylor para a função em torno de
Agora, vamos focar na diferença entre a integral definida e a soma parcial da série de Taylor:
Passo 2
Podemos expressar essa diferença como:
Para avaliar essa diferença, vamos usar o Teorema do Valor Médio para Integrais. De acordo com esse teorema, existe um valor \(c\) no intervalo tal que:
Aqui, está entre 0 e 1, então e podemos dizer que .
Passo 3
Isso nos leva a:
Agora, queremos mostrar que é menor ou igual a
Portanto, mostramos que , o que significa que:
Essa desigualdade foi demonstrada.
Resposta
Essa desigualdade foi demonstrada no passo a passo.