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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 1.1

Seja f ( x ,   y )   =   l n ( x + y ) . Determine o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto ( 1 2 ,   1 2 ) . Mostre que para todo ( x ,   y ) com x + y > 1 ,

|   l n ( x   +   y ) − ( x + y − 1 ) |   < 1 2 ( x   + y − 1 ) 2   .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que mostrar a seguinte relação:

|   l n ( x   +   y ) − ( x + y − 1 ) |   < 1 2 ( x   + y − 1 ) 2 .  

Temos que o erro para a aproximação da expansão de Taylor P n ( x , y ) em torno de um ( x 0 ,   y 0 ) , possui a seguinte relação:

E n = | f ( x , y )   − P 1 ( x ,   y ) |         ≤   | f x ( n + 1 ) ( x ,   y ) ( x - x 0 ) n + 1 + f y ( n + 1 ) ( x ,   y ) ( y - y 0 ) n + 1 | ( n + 1 ) !  

Vamos utilizar essa relação para provar o que foi solicitado no enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto ( 1 2 ,   1 2 ) é:

P 1 ( x ,   y ) = f ( 1 2 ,   1 2 ) + f x ( 1 ) ( 1 2 ,   1 2 ) ( x - 1 2 ) + f y ( 1 ) ( 1 2 ,   1 2 ) ( y - 1 2 )

sendo, f k ( 1 ) ( x 0 ,   y 0 ) = ∂ f ( x 0 ,   y 0 ) ∂ k . Então temos que:

P 1 ( x ,   y ) = l n ( 1 ) + ( x - 1 2 ) + ( y - 1 2 ) = x + y - 1 .

Passo 3

Assim, temos que

E 1 = | l n ( x + y )   − ( x + y - 1 ) |         ≤   | f x ( 2 ) ( x ,   y ) ( x - 1 2 ) 2 + f y ( 2 ) ( x ,   y ) ( y - 1 2 ) 2 | 2 !   .

Calculando as segundas derivadas:

f ( 2 ) x ( 1 2 ,   1 2 ) = - 1 ( 1 ) 2 = - 1

f ( 2 ) y ( 1 2 ,   1 2 ) = - 1 ( 1 ) 2 = - 1

Substituindo:

| l n ( x + y )   − ( x + y - 1 ) |         ≤   | - ( ( x - 1 2 ) 2 + ( y - 1 2 ) 2 ) | 2

Tomando o módulo

| l n ( x + y )   − ( x + y - 1 ) |           ≤ ( x - 1 2 ) 2 + ( y - 1 2 ) 2 2

Temos que

a 2 + b 2 < ( a + b ) 2

Usando essa relação, temos que

( x - 1 2 ) 2 + ( y - 1 2 ) 2 2 < 1 2 ( x - 1 2 + y - 1 2 ) 2

Voltando,

| l n ( x + y )   − ( x + y - 1 ) |       < 1 2 ( x + y - 1 ) 2 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
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