Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

Ver Teoria
Exercício 138123456789101112131415161718192021222324252627282930313233343536373839404142434445464748495051525354555657585960616263646566676869707172737475767778798081828384858687888990919293949596979899100

Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 1.3b

Seja a função f ( x ,   y )   =   x 3 +   y 3 −   3 x y   +   8

b. Escreva a Fórmula de Taylor para o resto E 1 ( x ,   y )   =   f ( x ,   y )   −   P 1 ( x ,   y ) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que a Fórmula de Taylor para o resto, E n ( x ,   y )   =   f ( x ,   y )   −   P n ( x ,   y ) , é a seguinte:

E n ( x ,   y )   = ∑ i = 0 n + 1 1 i ! ( n + 1 - i ) ! ∂ n + 1 f ∂ x i ∂ y n + 1 - i   ( c ,   d ) ( x   −   x 0 ) i   ( y   −   y 0 ) n + 1 − i  

sendo c entre x e x 0 e d entre y e y 0 .

Então vamos calcular E n ( x ,   y ) , para n = 1 e ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1,1 ) . Vamos lá!

Passo 2

Temos que para n = 1 e ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1,1 ) :

E 1 ( x ,   y )   = ∑ i = 0 2 1 i ! ( 2 - i ) ! ∂ 2 f ∂ x i ∂ y 2 - i   ( c ,   d ) ( x   −   1 ) i   ( y   −   1 ) 2 − i  

Calculando as derivadas:

i = 0 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ y 2 = 6 d ;

i = 1 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ x ∂ y = - 3 ;

i = 2 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ x 2 = 6 c ;

Substituindo em E 1 ( x ,   y )

E 1 ( x ,   y )   = 1 2 6 d   ( y   −   1 ) 2 - 3 ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + 1 2 6 c ( x   −   1 ) 2  

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Passo 3

Resposta

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 ) .

Exercícios de Livros Relacionados

D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0