Seja a função f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy + 8

b. Escreva a Fórmula de Taylor para o resto E₁(x, y) = f(x, y) - P₁(x, y) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que a Fórmula de Taylor para o resto, E n ( x ,   y )   =   f ( x ,   y )   −   P n ( x ,   y ) , é a seguinte:

E n ( x ,   y )   = ∑ i = 0 n + 1 1 i ! ( n + 1 - i ) ! ∂ n + 1 f ∂ x i ∂ y n + 1 - i   ( c ,   d ) ( x   −   x 0 ) i   ( y   −   y 0 ) n + 1 − i  

sendo c entre x e x 0 e d entre y e y 0 .

Então vamos calcular E n ( x ,   y ) , para n = 1 e ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1,1 ) . Vamos lá!

Passo 2

Temos que para n = 1 e ( x 0 ,   y 0 ) = ( 1,1 ) :

E 1 ( x ,   y )   = ∑ i = 0 2 1 i ! ( 2 - i ) ! ∂ 2 f ∂ x i ∂ y 2 - i   ( c ,   d ) ( x   −   1 ) i   ( y   −   1 ) 2 − i  

Calculando as derivadas:

i = 0 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ y 2 = 6 d ;

i = 1 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ x ∂ y = - 3 ;

i = 2 , ∂ 2 f ( c ,   d ) ∂ x 2 = 6 c ;

Substituindo em E 1 ( x ,   y )

E 1 ( x ,   y )   = 1 2 6 d   ( y   −   1 ) 2 - 3 ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + 1 2 6 c ( x   −   1 ) 2  

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 ) .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Passo 3

Resposta

E 1 ( x ,   y )   = 3 ( d   ( y   −   1 ) 2 - ( x   −   1 ) ( y   −   1 ) + c ( x   −   1 ) 2 ) .

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