Seja f : [a, b] → R uma função de classe C^2 e suponha que x0 ∈ ]a, b[ seja um ponto crítico de f . Mostre que:

a.se f''(x0) > 0 , então x_0 é um ponto de mínimo local de f ;

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos as seguintes informações sobre a função:

f ( 1 ) ( x 0 )   =   0 , x 0   ∈   ] a ,   b [ é um ponto crítico de f ;

f ( 2 ) ( x 0 )   >   0 ;

f ( n ) ( x 0 ) = 0   , para   n >   2 , f é uma função de classe C 2 .

Para mostrar que x 0 é um ponto de mínimo local de f , vamos escrever a expansão de Taylor dessa função. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro vamos construir a expansão de Taylor:

f ( x ) = f ( x 0 ) + f ( 1 ) ( x 0 ) 1 ! ( x - x 0 ) + f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! ( x - x 0 ) 2

Reorganizando,

f ( x ) - f ( x 0 ) = f ( 2 ) ( x 0 ) 2 ! ( x - x 0 ) 2

Como f ( 2 ) ( x 0 )   >   0 , temos que

f ( x ) - f ( x 0 ) > 0

f ( x ) > f ( x 0 ) .

Essa condição nos indica que x 0 é um mínimo local de f .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

No decorrer da questão.

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