Sejam I um intervalo aberto e f : I → R uma função n vezes derivável em I, onde n >= 1 . Suponha que exista um polinômio

Q(x) = a_n * (x - p)^n + a_(n-1) * (x - p)^(n-1) + ... + a_1 * (x - p) + a_0

tal que

lim(x → p) (f(x) - Q(x)) / (x - p^n) = 0 .

Deduza quem são os coeficientes de Q(x) .

Passo 1

Eaew, belezinha?

Temos que encontrar os coeficientes de Q ( x ) , tal que

l i m x → p f ( x )   −   Q ( x ) ( x - p ) n = 0 .

Então, vamos escrever a função em termos de sua expansão de Taylor e avaliar quando a igualdade é satisfeita.

Vamos lá!

Passo 2

Temos que a expansão de f ( x ) , que é n vezes derivável em I, em torno de x = p é:

f ( x ) = ∑ n = 0 n f ( n ) ( p )   ( x - p ) n n !

escrevendo também Q ( x )

Q ( x ) = ∑ n = 0 n a n   ( x - p ) n .

Substituindo na relação

l i m x → p f ( x )   −   Q ( x ) ( x - p ) n = ∑ n = 0 n ( f ( n ) ( p ) n !   -   a n )   ( x - p ) n ( x - p ) m = 0 .

Então, para zerar todos os termos, temos que

f ( n ) ( p ) n !   -   a n = 0

  a n = f ( n ) ( p ) n !   .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

  a n = f ( n ) ( p ) n !   .

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