USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1, Questão 1.9
Sejam I um intervalo aberto e uma função vezes derivável em I, onde . Suponha que exista um polinômio
tal que
.
Deduza quem são os coeficientes de .
Passo 1
Eaew, belezinha?
Temos que encontrar os coeficientes de , tal que
.
Então, vamos escrever a função em termos de sua expansão de Taylor e avaliar quando a igualdade é satisfeita.
Vamos lá!
Passo 2
Temos que a expansão de , que é vezes derivável em I, em torno de é:
escrevendo também
.
Substituindo na relação
Então, para zerar todos os termos, temos que
.
A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
.
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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 sen x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 o x 2 x 2 = 0