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Exercícios Resolvidos de Polinômio de Taylor para f(x)

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Enunciado

USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 6, Questão 1.2

Sejam f ( x ,   y )   =   x 3   +   y 3   −   x 2   +   4 y e P 1 ( x ,   y ) o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto (1, 1). Mostre que para todo ( x ,   y )   ∈   R 2   , com | x   −   1 |   <   1 e | y   −   1 |   <   1 ,

|   f ( x ,   y )   −   P 1 ( x ,   y ) |   <   5 ( x   −   1 ) 2 +   6 ( y   −   1 )   2 .

Usando P 1 ( x ,   y ) , calcule um valor aproximado para f ( 1.001 ,   0.99 ) e estime o erro cometido com essa aproximação.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Primeiro temos que mostrar a seguinte relação:

|   f ( x ,   y )   −   P 1 ( x ,   y ) |   <   5 ( x   −   1 ) 2 +   6 ( y   −   1 )   2 .

Temos que o erro para a aproximação da expansão de Taylor P n ( x , y ) em torno de um ( x 0 ,   y 0 ) , possui a seguinte relação:

E n = | f ( x , y )   − P 1 ( x ,   y ) |         ≤   | f x ( n + 1 ) ( x ,   y ) ( x - x 0 ) n + 1 + f y ( n + 1 ) ( x ,   y ) ( y - y 0 ) n + 1 | ( n + 1 ) !  

Vamos utilizar essa relação para provar o que foi solicitado no enunciado. Vamos lá!

Passo 2

Temos que o polinômio de Taylor de ordem 1 de f em volta do ponto ( 1 ,   1 ) é:

P 1 ( x ,   y ) = f ( 1 ,   1 ) + f x ( 1 ) ( 1 ,   1 ) ( x - 1 ) + f y ( 1 ) ( 1 ,   1 ) ( y - 1 )

sendo, f k ( 1 ) ( x 0 ,   y 0 ) = ∂ f ( x 0 ,   y 0 ) ∂ k . Então temos que:

P 1 ( x ,   y ) = 5 + ( 3 - 2 ) ( x - 1 ) + ( 3 + 4 ) ( y - 1 ) = 5 + ( x - 1 ) + 7 ( y - 1 ) .

Passo 3

Assim, temos que

E 1 = | f ( 1,1 ) - P 1 ( x ,   y ) |         ≤   | f x ( 2 ) ( 1 ,   1 ) ( x - 1 ) 2 + f y ( 2 ) ( 1 ,   1 ) ( y - 1 2 ) 2 | 2 !   .

Calculando as segundas derivadas:

f ( 2 ) x ( 1 ,   1 ) = 4

f ( 2 ) y ( 1 ,   1 ) = 6

Substituindo:

| f ( x ,   y )   − P 1 ( x ,   y ) |         ≤   | 4 ( x - 1 ) 2 + 6 ( y - 1 ) 2 | 2

Temos que

| 4 ( x - 1 ) 2 + 6 ( y - 1 ) 2 | 2         < 4 ( x - 1 ) 2 + 6 ( y - 1 ) 2

Voltando,

| f ( x , y )   − P 1 ( x ,   y ) |       < 4 ( x - 1 ) 2 + 6 ( y - 1 ) 2 .

Passo 4

Agora vamos calcular f ( 1,001 ,   0,99 ) usando P 1 :

f ( 1,001 ,   0,99 ) ≃ P 1 ( 1,001 ,   0,99 ) = 5 + ( 1,001 - 1 ) + 7 ( 0,99 - 1 ) = 4,931

Para estimar o erro utilizamos

| f ( x ,   y )   − P 1 ( x ,   y ) |       < 4 ( x - 1 ) 2 + 6 ( y - 1 ) 2

E 1 ( 1,001 ,   0,99 ) < 4 ( 1,001 - 1 ) 2 + 6 ( 0,99 - 1 ) 2 = 0,6.1 0 - 3 ∼ 1 0 - 3

Obtemos que o erro é da ordem de 1 0 - 3 .

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

P 1 ( x ,   y ) = 5 + ( x - 1 ) + 7 ( y - 1 ) ; f ( 1,001 ,   0,99 ) ≃ 4,931 , erro da ordem de 1 0 - 3 .

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