Usando um polinômio de Taylor de ordem 2 ao redor de 1, a aproximação correta nas três primeiras casas decimais que obtemos para ln ⁡ 1 , 5 é:

a) 0 , 376

b) 0 , 375

c) 0 , 374

d) 0 , 373

e) 0 , 372

Passo 1

O polinômio de Taylor de ordem 2 centrado em 1 , tem essa fórmulinha:

P 2 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2

Mas quem é f x ? Cara, se a gente quer aproximar ln ⁡ 1 , 5 , então nossa função é

f x = ln ⁡ x

Derivando ela duas vezes:

f ' x = 1 x

f ' ' x = 1 x ' = x - 1 ' = - x - 2 = - 1 x 2

Passo 2

Aí a gente substitui x = 1 , nelas e na função

f 1 = ln ⁡ 1 = 0

f ' 1 = 1 1 = 1

f ' ' 1 = - 1 1 2 = - 1

Com essas coisas a gente monta o polinômio de Taylor:

P 2 x = f 1 + f ' 1 1 ! x - 1 + f ' ' 1 2 ! x - 1 2

P 2 x = 0 + 1 1 x - 1 + - 1 1 ⋅ 2 x - 1 2

P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

Passo 3

Agora a gente faz x = 1 , 5 no nosso polinômio para descobrir a aproximação de ln ⁡ 1 , 5 :

f x ≈ P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

ln ⁡ x ≈ P 2 x = x - 1 - x - 1 2 2

ln ⁡ ( 1 , 5 ) ≈ P 2 1 , 5 = 1 , 5 - 1 - 1 , 5 - 1 2 2

ln ⁡ ( 1 , 5 ) ≈ P 2 1 , 5 = 0 , 5 - 0 , 125 = 0 , 375

Resposta

Letra b

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D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô sen x e x_0 = 0
D e t e r m i n e o p o l i n ô m i o d e T a y l o r , d e o r d e m 2 , d e f e m v o l t a d e x_0 d a d o . ô f (x) = cos x e x_0 = 0
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l elim x → 0 ⁡ s e nx - x 2 x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0
38. Sejam P x e Q x polinômios tais que P ( x 0 ) =P ' x o = 0 ,Q ( x 0 ) = Q ' ( x 0 ) = 0 e Q " ( x 0 ) ≠ 0 . Mostre que lim x → xo ⁡ P x Q x = P " x o Q " x o . Generalize.
Utilizando a relação s e nx = x + o x 2 ,c a l c u l e lim x → 0 ⁡ sen ⁡ x - x x 2 Sugestão. o x 2 é um infinitésimo de ordem superior a x 2 , para x → 0 , isto é, lim x → 0 ⁡ o x 2 x 2 = 0