USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.11d
Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.
Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a desigualdade será crucial). Deduza que também é inteiro.
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que demonstrar que o número é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que
,
onde satisfaz . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que é racional para escrever
em que e (esse fato será importante mais para frente). E, usamos um pouquinho de álgebra para escrever essa expressão na forma
de maneira que podemos agora trabalhar com o seguinte passo de nosso roteiro
Mostre que cada termo do lado direito da igualdade acima é um número inteiro (aqui a desigualdade será crucial). Deduza que também é inteiro.
Ele quer que demonstremos que é inteiro, ou seja, como foi dito na alternativa, tudo que basta é demonstrar que todos os termos do lado direito da igualdade são inteiros! (Uma soma de inteiros tem que ser inteiro), é claro no entanto, que devemos tomar cuidado com os termos que são razões! Saca só!
Passo 2
Vamos começar com o termo
temos que é inteiro e é inteiro, mas não necessariamente a razão entre eles é inteira. O que nos salva é o termo de , note que por definição, sendo assim, podemos garantir que
note que tomar um inteiro e subtrair um inteiro subsequentemente fará com que você percorra todos os inteiros menores do que ele, e portanto, em algum momento teremos Portanto, o termo que estamos analisando é da forma
e, um produto de inteiros é necessariamente inteiro! Podemos usar o mesmo argumento para mostrar que
Já que , e portanto pode ser expandido como , assim como também podemos mostrar que , e portanto, os seguintes termos são inteiros
e
Como é claramente inteiro (produto de inteiros é inteiro), temos que todos os termos a direita são inteiros, e podemos garantir que
é inteiro! Esse passo foi isso! Te vejo no próximo e último passo!
Resposta
Ao longo dos passos!