USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.11c
Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.
Reescreva a igualdade acima para obter
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que demonstrar que o número é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que
,
onde satisfaz . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que é racional para escrever
em que e (esse fato será importante mais para frente). Agora, queremos resolver
Reescreva a igualdade acima para obter
Fazer isso é uma questão de operações algébricas! Multiplicar os dois lados, passar para o outro lado subtraindo e lembrar um pouquinho de como funciona uma expansão desta forma! Saca só!
Passo 2
Temos a seguinte relação
a parte mais difícil de visualizar é que anterior ao termo de existe um termo da forma Sendo assim, temos que
podemos juntar os dois termos iniciais, já que , multiplicar tudo por , obtendo então
Isolando o termo , temos finalmente que
Como queríamos demonstrar! Vamos para o próximo passo agora!
Resposta
Ao longo dos passos!