Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

(c) Reescreva a igualdade acima para obter

N!R_N = N!/b * a - 2N! - N!/2! - ... - N!/(N-1)! - N!/N! .

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que e é racional para escrever

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

em que N > 3 e N > b (esse fato será importante mais para frente). Agora, queremos resolver

( c ) Reescreva a igualdade acima para obter

N ! R N = N ! b a - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N ! .

Fazer isso é uma questão de operações algébricas! Multiplicar os dois lados, passar para o outro lado subtraindo e lembrar um pouquinho de como funciona uma expansão desta forma! Saca só!

Passo 2

Temos a seguinte relação

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

a parte mais difícil de visualizar é que anterior ao termo de 1 / N ! existe um termo da forma 1 / ( N - 1 ) ! Sendo assim, temos que

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 ( N - 1 ) ! + 1 N ! + R N

podemos juntar os dois termos iniciais, já que 1 + 1 = 2 , multiplicar tudo por N ! , obtendo então

N ! a b = 2 N ! + N ! 2 ! + . . . + N ! ( N - 1 ) ! + N ! N ! + N ! R N

Isolando o termo N ! R N , temos finalmente que

N ! R N = N ! a b - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N !

Como queríamos demonstrar! Vamos para o próximo passo agora!

Resposta

Ao longo dos passos!

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