USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.11b
Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.
Suponha, por absurdo, que seja racional e escreva , onde são inteiros positivos. Escolha um número inteiro tal que e . Use o item anterior para concluir que
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que demonstrar que o número é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, no passo anterior demonstramos que
,
onde satisfaz . Agora, precisamos usar esse resultado para realizar o seguinte problema
Suponha, por absurdo, que seja racional e escreva , onde são inteiros positivos. Escolha um número inteiro tal que e . Use o item anterior para concluir que
Note que escrever o formato acima é bastante direto, já que não precisamos usar o formato explícito de neste resultado! Mas, é bom manter em mente que e , já que isso será importante nos passos subsequentes! Bora lá!
Passo 2
Bem, se estamos, de maneira absurda, supondo que , ou seja, que ele é um número “racional”, vamos escrever isso explicitamente
,
se a nossa expansão for feita até um número inteiro, temos que o formato acima se torna
usando que , chegamos no resultado exato indicado
Esse passo foi esse! Vamos para o próximo!
Resposta
Ao longo dos passos!