Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

(b) Suponha, por absurdo, que e seja racional e escreva e = a / b , onde a, b são inteiros positivos. Escolha um número inteiro N tal que N > 3 e N > b . Use o item anterior para concluir que

a / b = 1 + 1 + 1 / (2!) + ... + 1 / (N!) + R_N

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, no passo anterior demonstramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . Agora, precisamos usar esse resultado para realizar o seguinte problema

( b ) Suponha, por absurdo, que e seja racional e escreva e = a b , onde a , b são inteiros positivos. Escolha um número inteiro N tal que N > 3 e N > b . Use o item anterior para concluir que

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

Note que escrever o formato acima é bastante direto, já que não precisamos usar o formato explícito de N neste resultado! Mas, é bom manter em mente que N > 3 e N > b , já que isso será importante nos passos subsequentes! Bora lá!

Passo 2

Bem, se estamos, de maneira absurda, supondo que e = a / b , ou seja, que ele é um número “racional”, vamos escrever isso explicitamente

a b = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

se a nossa expansão for feita até um número N inteiro, temos que o formato acima se torna

a b = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

usando que 1 ! = 1 , chegamos no resultado exato indicado

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

Esse passo foi esse! Vamos para o próximo!

Resposta

Ao longo dos passos!

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