USP, Sem Campus, Cálculo 2, Listas de Cálculo 2 - USP, Politécnica - Lista 1 - Polinômio de Taylor e Curvas Planas, Questão 1.11e
Use o seguinte roteiro para provar que é irracional.
Usando as desigualdades e , mostre que . Obtenha uma contradição e conclua que não pode ser racional.
Passo 1
Eaew, tudo certinho contigo?
Temos que demonstrar que o número é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que
,
onde satisfaz . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que é racional para escrever
em que e (esse fato será importante mais para frente). E, usamos um pouquinho de álgebra para escrever essa expressão na forma
que foi utilizada para mostrar que o produto é um número inteiro. Agora, devemos procurar resolver
Usando as desigualdades e , mostre que . Obtenha uma contradição e conclua que não pode ser racional.
Note que encontrar uma contradição para que não possa ser um número racional (como foi suposto) nos garante que ele deve ser então irracional, que é o objetivo do problema como um todo! Vamos usar a desigualdade dada considerando que a nossa expansão foi feita para termos! Saca só!
Passo 2
Se temos uma expansão feita para termos, temos que
vamos multiplicar toda a desigualdade por , de forma que temos um inteiro no centro de nossa desigualdade
o denominador pode ser escrito como
ou seja, pode ser simplificado para o seguinte valor
temos que , portanto, se escolhermos , estamos analisando a desigualdade para seu maior intervalo possível, de forma que podemos garantir que
como foi pedido para demonstrar! Mas qual é a contradição? Note que se multiplicarmos tudo por , temos que
se for inteiro, é impossível obter um número que respeite a desigualdade acima. Como obtemos que é inteiro a partir da afirmação absurda que
ou seja, racional, podemos garantir que não é racional, ou simplesmente, é irracional! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!
Resposta
Ao longo dos passos!