Use o seguinte roteiro para provar que e é irracional.

(e) Usando as desigualdades 0 < R_n < 3 / (n + 1)! e N > 3 , mostre que 0 < N! R_N < 3 / 4 . Obtenha uma contradição e conclua que e não pode ser racional.

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos que demonstrar que o número e é irracional, e para isso as alternativas irão nos dando uma série de passos, nos passos anteriores mostramos que

e = 1 + 1 1 ! + 1 2 ! + . . . + 1 n ! + R n ,

onde R n satisfaz 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! . E, utilizando isso, supomos o absurdo de que e é racional para escrever

a b = 1 + 1 + 1 2 ! + . . . + 1 N ! + R N

em que N > 3 e N > b (esse fato será importante mais para frente). E, usamos um pouquinho de álgebra para escrever essa expressão na forma

N ! R N = N ! b a - 2 N ! - N ! 2 ! - . . . - N ! ( N - 1 ) ! - N ! N ! .

que foi utilizada para mostrar que o produto N ! R N é um número inteiro. Agora, devemos procurar resolver

( e ) Usando as desigualdades 0 < R n < 3 ( n + 1 ) ! e N > 3 , mostre que 0 < N ! R N < 3 4 . Obtenha uma contradição e conclua que e não pode ser racional.

Note que encontrar uma contradição para que e não possa ser um número racional (como foi suposto) nos garante que ele deve ser então irracional, que é o objetivo do problema como um todo! Vamos usar a desigualdade dada considerando que a nossa expansão foi feita para N termos! Saca só!

Passo 2

Se temos uma expansão feita para N termos, temos que

0 < R N < 3 ( N + 1 ) !

vamos multiplicar toda a desigualdade por N ! , de forma que temos um inteiro no centro de nossa desigualdade

0 < N ! R N < 3 N ! ( N + 1 ) !

o denominador pode ser escrito como

( N + 1 ) ! = ( N + 1 ) N !

ou seja, pode ser simplificado para o seguinte valor

0 < N ! R N < 3 ( N + 1 )

temos que N > 3 , portanto, se escolhermos N = 3 , estamos analisando a desigualdade para seu maior intervalo possível, de forma que podemos garantir que

0 < N ! R N < 3 4

como foi pedido para demonstrar! Mas qual é a contradição? Note que se multiplicarmos tudo por 4 , temos que

0 < 4 N ! R N < 3

se N ! R N for inteiro, é impossível obter um número que respeite a desigualdade acima. Como obtemos que N ! R N é inteiro a partir da afirmação absurda que

e = a b

ou seja, racional, podemos garantir que e não é racional, ou simplesmente, e é irracional! A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Ao longo dos passos!

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