Utilizando o polinômio de Taylor de ordem 2, calcule um valor aproximado e avalie o erro

para:

b. ln(1,3)

Passo 1

Para calcular um valor aproximado usando o polinômio de Taylor de ordem 2 da função f x = ln ⁡ 1 + x em torno de x 0 = 0 , podemos substituir x = 0.3 na equação do polinômio de Taylor e avaliar o erro relativo.

O polinômio de Taylor de ordem 2 para f x = ln ⁡ ( 1 + x ) em torno de x 0 = 0 é:

P x = x - 1 2 x 2

Substituindo x = 0.3

P 0.3 = 0.3 - 1 2 0.3 2

= 0.3 - 0.045

= 0.255

Passo 2

Agora, para avaliar o erro, vamos calcular a diferença entre o valor real e o valor aproximado usando o polinômio de Taylor:

E r r o = ln ⁡ 1 + 0.3 - 0,255

Calculando o valor numérico:

E r r o ≈ 0.023143

O erro relativo é dado por:

E r r o   R e l a t i v o = E r r o ln ⁡ 1 + 0.3

≈ 0.023143 ln ⁡ 1.3

≈ 0.021381

Portanto, usando o polinômio de Taylor de ordem 2, o valor aproximado de ln ⁡ ( 1.3 ) é 0.255, e o erro relativo é aproximadamente 0.021381, ou cerca de 2.14%.

Resposta

Portanto, usando o polinômio de Taylor de ordem 2, o valor aproximado de ln ⁡ ( 1.3 ) é 0.255, e o erro relativo é aproximadamente 0.021381, ou cerca de 2.14%.

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