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Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Sistema de Partículas

Uma chapa homogênea quadrada de lado 2 a tem um canto quadrado de lado a retirado. A chapa restante está disposta no plano O X Y como indicado na figura. Em relação à origem O , o vetor posição r → c m do centro de massa

  1. 7 / 6 a i ^ + j ^
  2. 5 / 6 a i ^ + j ^
  3. 1 / 3 a i ^ + j ^
  4. 1 / 2 a i ^ + j ^
  5. 2 / 3 a i ^ + j ^

Passo 1

Como vimos em um dos exercícios de fixação, quando você retira alguma parte de um objeto, para encontrar o centro de massa basta considerar a massa daquela parte como negativa e fazer o centro de massa entre ela e a peça original.

Lembre-se também que quando temos chapas usamos sua área no lugar da massa.

Passo 2

Vamos ter

E i x o   x x o r i g i n a l = a x b u r a c o = a 2

E i x o   y y o r i g i n a l = a y b u r a c o = a 2

Além disso

A o r i g i n a l = 2 a 2 = 4 a 2

A b u r a c o = - a 2  

Passo 3

Pela fórmula do centro de massa vamos ter

x C M = A o r i g i n a l ⋅ x o r i g i n a l + A b u r a c o ⋅ x b u r a c o A o r i g i n a l + A b u r a c o

x C M = 4 a 2 ⋅ a + - a 2 ⋅ a / 2 4 a 2 + - a 2

x C M = 4 a 3 - a 3 / 2 3 a 2

x C M = 7 a 6

Passo 4

No e i x o   y vamos ter

y C M = A o r i g i n a l ⋅ y o r i g i n a l + A b u r a c o ⋅ y b u r a c o A o r i g i n a l + A b u r a c o

y C M = 4 a 2 ⋅ a + - a 2 ⋅ a / 2 4 a 2 + - a 2

y C M = 4 a 3 - a 3 / 2 3 a 2

y C M = 7 a 6

Passo 5

O vetor posição do centro de massa vai ser

r → C M = x C M i ^ + y C M j ^

r → C M = 7 a 6 i ^ + 7 a 6 j ^

Colocando 7 a / 6 em evidência

r → C M = 7 a 6 i ^ + j ^

Resposta

Letra A

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