No tempo inicial t i , uma partícula A de massa 4   k g parte da posição r → A t i = 2   j ^   m e move-se em movimento retilíneo uniforme (MRU) com velocidade v → A = 16   i ^   m / s . No mesmo instante, uma partícula B de massa 6   k g parte do repouso da posição r → B t i = 8   j ^   m e move-se em movimento retilíneo uniformemente variado (MRUV) com aceleração a → B = 1   j ^   m / s 2 . Determine o vetor posição do centro de massa deste sistema de duas partículas no instante t = 2   s .

Passo 1

Ele jogou tanto vetor nesse enunciado que até confundiu, né haha.

Vamos lá, basicamente, temos duas partículas A e B e queremos achar a posição do centro de massa r → C M em um instante t = 2   s .

A posição do centro de massa desse sistema é calculada com a seguinte expressão:

r → C M t = m A r → A t + m B r → B t m A + m B

Ou seja, é apenas uma média ponderada da posição de cada partícula pelos seus pesos.

Como já temos as massas, só falta encontrarmos as posições das duas partículas em t = 2   s .

Passo 2

Vamos começar pela partícula A.

Essa partícula realiza um movimento uniforme, então podemos utilizar a seguinte expressão:

S t = S 0 + v t

Agora, é só adaptarmos para a forma vetorial.

A posição S t é a posição da partícula em função do tempo, então:

S t = r → A t

A velocidade v será o vetor v → A = 16   i ^ . Além disso, temos que a posição inicial S 0 é:

S 0 = r → A t i = 2   j ^

Então, nossa expressão ficou assim:

r → A t = r → A t i + v → A . t

r → A t = 2   j ^ + 16   i ^ t

Agora, é só calcularmos para t = 2   s :

r → A 2 = 2   j ^ + 16   i ^ 2

r → A 2 = 32   i ^ + 2   j ^

r → A 2 = 32   i ^ + 2   j ^   m

Passo 3

Agora, vamos fazer a mesma coisa para a partícula B, porém, agora, ela realiza um movimento uniformemente variado e parte do repouso.

S = S 0 + v 0 t + a t 2 2

S = S 0 + 0 + a t 2 2

Adaptando para a forma vetorial, temos:

r → B t = r → B t i + a → B t 2 2

r → B t = 8   j ^ + 1   j ^ t 2 2

Calculando para t = 2   s :

r → B 2 = 8   j ^ + 1   j ^ 2 2 2

r → B 2 = 8   j ^ + 2 1   j ^

r → B 2 = 10   j ^   m

Passo 4

Já temos as posições das partículas em t = 2   s , então podemos calcular a posição do centro de massa em t = 2   s :

r → C M 2 = m A r → A 2 + m B r → B 2 m A + m B

r → C M 2 = 4 32   i ^ + 2   j ^ + 6 10   j ^ 4 + 6

r → C M 2 = 128   i ^ + 8   j ^ + 6 0   j ^ 10

r → C M 2 = 128   i ^ + 6 8   j ^ 10

r → C M 2 = 12 , 8   i ^ + 6 , 8   j ^   m

Achamos, assim, a posição do centro de massa no instante t = 2   s .

Resposta

r → C M 2 = 12,8   i ^ + 6,8   j ^   m

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