A figura a seguir mostra uma placa composta de dimensões d 1 = 11,0   c m , d 2 = 2,80   c m e d 3 = 13,0   c m . Metade da placa é constituída de alumínio (densidade = 2,70   g / c m 3 ) e a outra metade de ferro (densidade = 7,85   g / c m 3 ). Quais são:

(a) a coordenada x ,

(b) a coordenada y e

(c) a coordenada z do centro de massa da placa?

Passo 1

Oi, tudo bom? Aqui nós temos a junção de uma placa de metálica de alumínio e uma de ferro, que possuem densidades diferentes. Deste modo, para calcular a coordenada de cada eixo do centro de massa podemos usar as seguintes relações:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2

z c m = m 1 z 1 + m 2 z 2 m 1 + m 2

E temos que a massa, volume e densidade estão relacionadas da seguinte forma:

m = ρ V

E o volume de um paralelepípedo é o produto das medidas. Beleza? Tranquilo até aqui?

Porém, devemos perceber que a distribuição de massa nas coordenadas x e z apresentam simetria, portanto, não precisamos usar estas relações para essas coordenadas.

mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Letra (a): vamos começar calculando a coordenada x do centro de massa. Vamos espiar novamente o desenho:

Lembrando que as placas são homogêneas, então em x o ponto médio delas será na metade de d 3 . Assim o centro de massa para a coordenada x , como há simetria:

x c m = - d 3 2 = - 13 2 = - 6,5   c m

O sinal de negativo foi representado para estar de acordo com o eixo de referência adotado.

Tranquilo? Vamos calcular as outras componentes?

Passo 3

Letra (b): agora a coordenada y!

Para a coordenada y , usaremos a relação dada no passo inicial:

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 m 1 + m 2

Lembrando que:

m = ρ V

Onde, ρ é a densidade do material e V é o volume. Assim:

y c m = ρ 1 V 1 y 1 + ρ 2 V 2 y 2 ρ 1 V 1 + ρ 2 V 2

Devemos perceber que os volumes das duas placas são iguais e que a posição do centro de massa de cada uma está no centro da placa de cada uma, como mostra a figura aqui embaixo:

Assim:

y c m = ρ 1 d 1 2 + ρ 2 d 1 + d 1 2 ρ 1 + ρ 2

Substituindo os valores:

y c m = 7,85 × 11 2 + 2,7 × 11 + 11 2 7,85 + 2,7

y c m = 8,32   c m

Beleza? Vamos para a última coordenada?

Passo 4

z , usaremos a simetria novamente:

z c m = d 2 2 = 2,8 2

z c m = 1,4   c m

Beleza? Ufa! Terminamos!

Espero ter ajudado!

Resposta

  1. x c m = - 6,5   c m ;
  2. y c m = 8,32   c m ;
  3. z c m = 1,4   c m .

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