UFABC – Fenômenos Mecânicos – Lista 5 – Questão 11
A figura a seguir mostra uma placa composta de dimensões , e . Metade da placa é constituída de alumínio (densidade = ) e a outra metade de ferro (densidade = ). Quais são:
(a) a coordenada ,
(b) a coordenada e
(c) a coordenada do centro de massa da placa?
Passo 1
Oi, tudo bom? Aqui nós temos a junção de uma placa de metálica de alumínio e uma de ferro, que possuem densidades diferentes. Deste modo, para calcular a coordenada de cada eixo do centro de massa podemos usar as seguintes relações:
E temos que a massa, volume e densidade estão relacionadas da seguinte forma:
E o volume de um paralelepípedo é o produto das medidas. Beleza? Tranquilo até aqui?
Porém, devemos perceber que a distribuição de massa nas coordenadas e apresentam simetria, portanto, não precisamos usar estas relações para essas coordenadas.
mas calma, vou fazer passo a passo com você!
Vamos lá?
Passo 2
Letra (a): vamos começar calculando a coordenada x do centro de massa. Vamos espiar novamente o desenho:
Lembrando que as placas são homogêneas, então em o ponto médio delas será na metade de . Assim o centro de massa para a coordenada , como há simetria:
O sinal de negativo foi representado para estar de acordo com o eixo de referência adotado.
Tranquilo? Vamos calcular as outras componentes?
Passo 3
Letra (b): agora a coordenada y!
Para a coordenada , usaremos a relação dada no passo inicial:
Lembrando que:
Onde, é a densidade do material e é o volume. Assim:
Devemos perceber que os volumes das duas placas são iguais e que a posição do centro de massa de cada uma está no centro da placa de cada uma, como mostra a figura aqui embaixo:
Assim:
Substituindo os valores:
Beleza? Vamos para a última coordenada?
Passo 4
Beleza? Ufa! Terminamos!
Espero ter ajudado!
Resposta
- ;
- ;
- .