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Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 9, exercício 8.

Uma lata tem uma massa de 0,140   k g , uma altura de 12,0   c m e contém 1,31 k g de refrigerante (Fig. 9-42). Pequenos furos são feitos na base e na tampa (com perda de massa desprezível) para drenar o refrigerante. Qual é a altura h   do centro de massa da lata e seu conteúdo (a) inicialmente e (b) após a lata perder todo o refrigerante? (c) O que acontece com h enquanto o refrigerante está sendo drenado? (d) Se x é a altura do refrigerante que ainda resta na lata em um dado instante, determine o valor de x no instante em que o centro de massa atinge o ponto mais baixo.

Passo 1

Para calcular a coordenada x do centro de massa podemos usar a seguinte relação:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 m 1 + m 2

Como a lata é corpo homogêneo, então o seu centro de massa está localizado no próprio centro geométrico, que se situa a uma distância H / 2 acima da base. O centro de massa do refrigerante também está localizado em seu centro geométrico, devido a simetria, que está situado x / 2 acima da base da lata.

Passo 2

  1. É importante perceber que quando a lata está cheia, os dois centro geométricos são coincidentes e, portanto, x 2 = H 2 . Portanto, usando a relação dada no passo anterior para determinar a posição do centro de massa inicialmente, temos:

    2. x c m = M × H 2 + m × H 2 M + m = H 2 M + m M + m  

    Assim:

    x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

    Passo 3

  2. Para o caso da lata estar vazia, então a massa do refrigerante é nula e, portanto, o centro de massa está no próprio centro geométrico do cilindro:

    3. x c m = H 2 = 12 2 = 6   c m

    Passo 4

  3. Inicialmente, enquanto a massa de refrigerante for maior que a massa da lata, o x c m vai diminuir (descendo junto com o líquido) até um momento em que as massas do refrigerante e da lata passam a ser iguais. Neste instante, o x c m atinge seu valor mais baixo pois a partir daí, como a massa da lata passa a ser maior que a de refrigerante, o x c m passa a aumentar e se aproximar do centro geométrico da lata. O x c m coincidirá com o centro geométrico (6 c m ) da lata quando todo refrigerante sair da lata.

    4. Passo 5

  4. Devemos perceber que só conhecemos o valor da massa do refrigerante quando a lata está cheia. Portanto, para continuar resolvendo esta questão, devemos fazer uma relação para determinar a massa no decorrer do deslocamento do líquido. Para isso, usamos uma proporção entre as alturas e as massas:

m r m 0 = x H → m r = m 0 x H

Onde chamamos m r a massa do refrigerante restante e m 0 a massa de refrigerante inicial ( 1,31 k g ).

Aplicando novamente a relação para calculcar a coordenada do centro de massa:

x c m = M H 2 + m r x 2 M + m r

Substituindo o valor da massa em função do deslocamento:

x c m = M H 2 + m 0 x H x 2 M + m 0 x H

x c m = M H 2 + m 0 x 2 2 H M + 2 m 0 x

Por fim, para determinar o valor que o x c m atinge o ponto mais baixo, vamos derivar a função acima em relação a x e igualar a zero:

d x c m d x = 2 m x 2 H M + 2 m x - 2 m M H 2 + m x 2 2 H M + 2 m x 2

= 4 M m H x + 4 m 2 x 2 - 2 M m H 2 - 2 m 2 x 2 2 ( H M + m x ) 2

= 4 M m H x + 2 m 2 x 2 - 2 M m H 2 4 H M + m x 2

= 2 ( 2 M m H x + m 2 x 2 - M m H 2 ) 4 H M + m x 2

= m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 2 M H + m x 2 = 0

Assim:

m 2 x 2 + 2 M m H x - M m H 2 = 0

Substituindo os valores:

1,31 2 x 2 + 2 × 0,14 × 1,31 × 12 × x - 0,14 × 1,31 × 12 2 = 0

1,72 x 2 + 4,4 x - 26,41 = 0

Resolvendo esta equação do segundo grau e pegando a raíz positiva, temos:

x ≅ 2 , 84   c m

Resposta

  1. x c m = 6   c m ;
  2. x c m = 6   c m ;
  3. d i m i n u i r á ,   d e p o i s   a u m e n t a r á   a t é   H / 2 ;
  4. x = 4,2   c m .

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