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Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 9, exercício 5.

Quais são (a) a coordenada x e (b) a coordenada y do centro de massa da placa homogênea da Fig. 9-38 se L = 5,0   c m ?

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Para calcular as coordenadas x e y do centro de massa dessa placa homogênea, primeiro nós vamos dividir a placa em três partes uniformes, ok?

Como a placa toda é homogênea, a massa de cada uma das partes é proporcional a sua área, e o centro de massa da placa inteira é dada por:

x C M = A 1 x C M 1 + A 2 x C M 2 + A 3 x C M 3 A 1 + A 2 + A 3

y C M = A 1 y C M 1 + A 2 y C M 2 + A 3 y C M 3 A 1 + A 2 + A 3

Shooow !! Então o que nós precisamos é achar as áreas e os centros de massa para cada peça!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a área de cada uma das partes, lembrando que L = 5   c m :

A 1 = A p r e t o = 7 L × 2 L = 35 × 10 = 350   c m 2

A 2 = A v e r m e l h o = 4 L × L = 20 × 5 = 100   c m 2

A 3 = A v e r d e = 2 L × 2 L = 10 × 10 = 100   c m 2

Já podemos achar a área total, que entrará no denominador do calculo das coordenadas:

A t o t a l = A 1 + A 2 + A 3 = 350   c m 2 + 100   c m 2 + 100   c m 2 = 550   c m 2

Com as áreas a única coisa que precisamos é achar os centros de massa!!

Passo 3

Nas figuras retangulares o centro de massa é bem no meio do retângulo, ok?

Vamos calcular cada coordenada do centro de cada retângulo por

x C M = x b o r d a 1 + x b o r d a 2 2

y C M = y b o r d a 1 + y b o r d a 2 2

Vamos olhar a figura e observar quais são os valores para o ponto geométrico, mas não se esqueçam que eles estão em um eixo de coordenadas, então teremos valores positivos e negativos, tudo bem?

Para o retângulo preto, teremos:

x C M 1 = - 2 L + 0 2 = - L =   - 5   c m

y C M 1 = - 4 L + 3 L 2 = - 0,5 L =   - 2,5   c m

Para o retângulo vermelho, teremos:

x C M 2 = 4 L 2 = 2 L = 10   c m

y C M 2 = 3 L - 1 2 L = 2,5 L = 12,5   c m

Para o retângulo verde, teremos:

x C M 3 = 2 L 2 = L = 5   c m

y C M 3 = - 2 L + - 2 2 L =   - 3 L = - 15   c m

Passo 4

Agora só nos resta aplicar tudo isso que achamos na fórmula do Passo 1 para cada coordenada:

x C M = 350   c m 2 × - 5   c m + 100   c m 2 × 10   c m + 100   c m 2 × 5   c m 550   c m 2

x c m =   - 0,455   c m

y C M = 350   c m 2 × - 2,5   c m + 100   c m 2 × 12,5   c m + 100   c m 2 × - 15   c m 550   c m 2

y c m = - 2,05   c m

Esta foi bem legal, não foi ?!

Resposta

  1. x C M = - 0,455   c m ;
  2. y C M = - 2,05   c m .

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