UTFPR, Sem Campus, Física 1, Listas de Física 1 - UTFPR - Lista 3 - Sistemas de partículas, Questão 5
Um taco de beisebol tem comprimento e a densidade linear de massa é dada por . Localizar a coordenada do centro de massa em termos de .
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão!
O enunciado pediu pra gente localizar a coordenada do centro de massa em termos do comprimento do taco, sabendo que ele tem uma densidade linear de massa dada por .
Pra isso, nós precisamos lembrar que a coordenada do centro de massa é calculada em função da densidade linear de acordo com a equação:
Onde é o comprimento considerado e é a densidade linear, que o enunciado nos deu. Então, basta calcular as duas integrais e fazer a relação entre elas.
Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando a integral do denominador, , com . Fica assim:
Como é constante, podemos colocar do lado de fora da integral:
Além disso, a integral da soma é igual a soma das integrais, então temos:
Mas também é constante, então temos:
Agora integrando usando a regra da potência (), vamos ter:
Aplicando os limites de integração:
Passo 3
Agora vamos calcular a integral do numerador, , da nossa equação para o centro de massa. Vai ser muito parecido com o passo anterior, a diferença é que a gente tem mais um ali no integrando. Vamos lá!
Colocando as constantes do lado de fora e separando a integral da soma:
Agora integrando usando a regra da potência, temos:
Aplicando os limites de integração:
Passo 4
Agora substituindo os resultados dos passos e na equação da coordenada do centro de massa:
Fazendo a divisão de frações:
Simplificando:
Encontramos nosso resultado.
Valeu, galera! Até a próxima! 😉