Um taco de beisebol tem comprimento L e a densidade linear de massa é dada por λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) . Localizar a coordenada x do centro de massa em termos de L .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente localizar a coordenada x do centro de massa em termos do comprimento L do taco, sabendo que ele tem uma densidade linear de massa dada por λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) .

Pra isso, nós precisamos lembrar que a coordenada x C M do centro de massa é calculada em função da densidade linear de acordo com a equação:

x C M = ∫ 0 L λ x d x ∫ 0 L λ d x

Onde L é o comprimento considerado e λ é a densidade linear, que o enunciado nos deu. Então, basta calcular as duas integrais e fazer a relação entre elas.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar calculando a integral do denominador, ∫ 0 L λ d x , com λ = λ 0 ( 1 + x 2 / L 2 ) . Fica assim:

∫ 0 L λ d x = ∫ 0 L λ 0 1 + x 2 L 2 d x

Como λ 0 é constante, podemos colocar do lado de fora da integral:

λ 0 ∫ 0 L 1 + x 2 L 2 d x

Além disso, a integral da soma é igual a soma das integrais, então temos:

λ 0 ∫ 0 L 1 d x + ∫ 0 L x 2 L 2 d x

Mas L também é constante, então temos:

λ 0 ∫ 0 L 1 d x + 1 L 2 ∫ 0 L x 2 d x

Agora integrando usando a regra da potência ( ∫ x n d x = x n + 1 n + 1 ), vamos ter:

λ 0 x 0 L + 1 L 2 x 3 3 0 L

Aplicando os limites de integração:

λ 0 L - 0 + 1 L 2 L 3 3 - 0 3 3

λ 0 L + L 3

= 4 L λ 0 3

Passo 3

Agora vamos calcular a integral do numerador, ∫ 0 L λ x d x , da nossa equação para o centro de massa. Vai ser muito parecido com o passo anterior, a diferença é que a gente tem mais um x ali no integrando. Vamos lá!

∫ 0 L λ x d x = ∫ 0 L λ 0 x 1 + x 2 L 2 d x

= ∫ 0 L λ 0 x + x 3 L 2 d x

Colocando as constantes do lado de fora e separando a integral da soma:

λ 0 ∫ 0 L x + x 3 L 2 d x

λ 0 ∫ 0 L x d x + ∫ 0 L x 3 L 2 d x

λ 0 ∫ 0 L x d x + 1 L 2 ∫ 0 L x 3 d x

Agora integrando usando a regra da potência, temos:

λ 0 x 2 2 0 L + 1 L 2 x 4 4 0 L

Aplicando os limites de integração:

λ 0 L 2 2 - 0 2 2 + 1 L 2 L 4 4 - 0 4 4

λ 0 L 2 2 + L 2 4

= 3 L 2 λ 0 4

Passo 4

Agora substituindo os resultados dos passos 2 e 3 na equação da coordenada do centro de massa:

x C M = ∫ 0 L λ x d x ∫ 0 L λ d x

x C M = 3 L 2 λ 0 4 4 L λ 0 3

Fazendo a divisão de frações:

x C M = 3 L 2 λ 0 4 ∙ 3 4 L λ 0

Simplificando:

x C M = 9 L 16

Encontramos nosso resultado.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

9 L 16

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