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Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

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Enunciado

\sUFRJ, Física 1, Prova Final, 2015.2

Um reservatório de massa total M pode ser representado por uma caixa cúbica, oca, de paredes finas e homogêneas de lado L. O reservatório está parcialmente cheio por um líquido de densidade volumétrica uniforme ρ. Sabendo que a coluna do líquido no interior do reservatório tem altura h, a altura do centro de massa do conjunto reservatório + líquido em relação à base do reservatório é:

  1. M L + ρ L 2 h 2 2 M + ρ L 2 h
  2. M L + ρ L 2 h 2 M + ρ L 2 h  
  3. M L - ρ L 2 h 2 2 M + ρ L 2 h
  4. M L - ρ L 2 h 2 2 M - ρ L 2 h
  5. M L + 2 ρ L 2 h 2 2 M + ρ L 2 h

Passo 1

Como o problema quer a altura do centro de massa do conjunto reservatório + líquido, vamos aplicar a fórmula de centro de massa para o eixo vertical:

y c m = m r e s y c m r e s + m l i q y c m l i q m r e s + m l i q

Alguns valores são mais diretos de serem achados, enquanto outros exigem uma manipulaçãozinha:

m r e s = M

y c m r e s = L 2 , o centro de massa de um cubo oco é a metade dele

Para descobrirmos m l i q , vamos utilizar a densidade volumétrica dada no problema ρ :

ρ = m V

m l i q = ρ V l i q

V l i q = L 2 h , já que a base é dada por L 2 e a altura do líquido é h

m l i q = ρ L 2 h

Show! Agora só falta o y c m l i q que vai ser metade de h, já que a distribuição do líquido é uniforme, seu centro de massa se encontra na metade dele.

y c m l i q = h 2

Pronto!

Já temos tudo! Agora é só substituir:

y c m = m r e s y c m r e s + m l i q y c m l i q m r e s + m l i q

y c m s i s = M L + ρ L 2 h 2 2 M + ρ L 2 h

Resposta

  1. M L + ρ L 2 h 2 2 M + ρ L 2 h

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