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Exercícios Resolvidos de Posição do Centro de Massa

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Enunciado

Fundamentos de Física – Mecânica. Halliday e Resnick. 9ª edição. Capítulo 9, exercício 7.

Na molécula de amônia ( N H 3 ) da Fig. 9-40, três átomos de hidrogênio (H) formam um triângulo equilátero, com o centro do triângulo a uma distância d = 9,40 × 10 - 11   m de cada átomo de hidrogênio. O átomo de nitrogênio (N) está no vértice superior de uma pirâmide, com os três átomos de hidrogênio formando a base. A razão entre as massas de nitrogênio e do hidrogênio é 13,9 e a distância nitrogênio-hidrogênio é L = 10,14 × 10 - 11   m . Quais são as coordenadas (a) x e (b) y do centro de massa da molécula?

Passo 1

Para calcular a coordenada de cada eixo do centro de massa podemos usar as seguintes relações:

x c m = m 1 x 1 + m 2 x 2 + m 3 x 3 + m 4 x 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

y c m = m 1 y 1 + m 2 y 2 + m 3 y 3 + m 4 y 4 m 1 + m 2 + m 3 + m 4

Porém, devemos prestar atenção para o caso de haver simetria na peça. Neste caso, percebemos que o eixo y corta exatamente nossa peça ao meio.

Passo 2

Portanto, para calculcar a coordenada x do centro de massa, não precisamos aplicar a expressão dada no passo anterior. Devemos perceber que o centro de massa da peça está localizado no eixo de simetria que é o eixo y . Assim:

x c m = 0

Passo 3

Para determinar a coordenada y do centro de massa, usaremos a expressão dada no passo inicial:

y c m = m 1 0 + m 2 0 + m 3 0 + m N y N m N + 3 m H

y c m = m N y N m N + 3 m H

Isolando y N , temos:

y c m m N m N + 3 y c m m H m N = y N

Como o desenho é formado por triângulos retângulo, podemos aplicar o teorema de pitágoras para determinar o y N :

y N 2 + d 2 =   L 2 → y N = L 2 - d 2

y N =   10,14 × 10 - 11 2 - 9,4 × 10 - 11 2 = 3,80 × 10 - 11   m

E foi dado que a relação entre a massa de nitrogênio e de hidrogênio é m N m H =   13,9 . Assim, devolvendo em nossa expressão, temos:

y c m + 3 y c m 13,9 = 3,80 × 10 - 11

13,9 + 3 y c m 13,9 = 3,80 × 10 - 11

Isolando y c m :

y c m = 3,80 × 10 - 11 × 13,9 16,9 = 3,13 × 10 - 11   m

Resposta

  1. x c m = 0 ;
  2. y c m = 3,13 × 10 - 11   m .

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