Um disco de massa m   =   1,00   k g e diâmetro d   =   50,0   c m e uma corda de massa desprezível e comprimento L   =   1,75   m formam um pêndulo simples, que pode girar sem atrito em torno da origem do sistema de coordenadas ilustrado na figura. O pêndulo é largado do repouso a partir da horizontal. Quando o pêndulo está em sua posição mais baixa, como ilustrado em pontilhado na figura, ele colide com um bloco quadrado de lado d e mesma massa, que está em repouso sobre uma superfície horizontal áspera. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície vale μ C   =   0 , 100 . A colisão ocorre durante o intervalo de tempo de um centésimo de segundo.

a) Calcule a posição r C M → do centro de massa do sistema (disco e bloco) imediatamente antes da colisão.

b) Sabendo que o pêndulo fica parado imediatamente após a colisão, calcule a velocidade do bloco v B f → para este instante de tempo.

c)Calcule a força média F m → que o bloco faz no pêndulo durante a colisão.

d) Calcule distância percorrida pelo bloco até parar.

Passo 1

Destaquei algumas informações importantes:

É legal fazer esse tipo de coisa quando estamos resolvendo exercícios. Fazer desenhos e escrever os dados do problema, já colocando tudo em unidade dos SI.

Vamos ler agora o que ele tá querendo que a gente faça na letra a.

Passo 2

a)

Beleza, na letra a ele ta pedindo a posição do centro de massa do sistema bloco mais disco. Show?

Pra isso a gente vai usar:

r C M → s i s t e m a = m d i s c o r C M → d i s c o + m b l o c o r C M → b l o c o m d i s c o   + m b l o c o

r C M → d i s c o é o vetor posição do centro de massa do disco.

r C M → b l o c o é o vetor posição do centro de massa do bloco.

Acompanha comigo aqui:

r C M → d i s c o é o comprimento do fio mais o raio do disco, e aponta pra baixo.

Então: r C M → d i s c o = L + d 2 - j ^ = 1,75 + 0,25 - j ^ = - 2 j ^

r C M → b l o c o é o comprimento do fio mais o raio do disco pra baixo mais duas vezes d 2 pra direita, certo?

Então: r C M → d i s c o = L + d 2 -   j ^ + 2 d 2 î = - 2 j ^ + 0,5 î

Substituindo lá na equação para o r C M → s i s t e m a :

r C M → s i s t e m a = m - 2 j ^ + m - 2 j ^ + 0,5 î 2 m

r C M → s i s t e m a = - 2 j ^ + 0,25 î

Show. Vamos pra próxima.

Passo 3

b)

Agora, ele quer saber qual é a velocidade do bloco imediatamente após a colisão, sabendo que o pêndulo para.

Vamos separar em dois momentos:

Primeiro, vamos olhar só para o pêndulo. Vamos achar a velocidade dele no ponto mais baixo.

Depois, vamos analisar a colisão de fato.

Acompanha comigo:

Passo 4

Primeiro, estamos falando desta situação:

Olhando para o pêndulo nas situações i e i i :

Não temos forças dissipativas, então a energia mecânica se conserva.

E i = E i i

No início o pêndulo da parado e o centro de massa dele (centro do disco) está a uma altura 0, em relação ao eixo y.

Na situação i i , ele tem uma certa velocidade, e o CM está a uma altura h = - L - d 2 em relação a y.

E i = E i i

0 = m v i i 2 2 + m g - L - d 2

Então a velocidade do disco imediatamente antes da colisão é:

v i i = 6,32   m / s

Maravilha! Vamos para o próximo passo e analisar essa colisão.

Passo 5

Durante a colisão, também temos a energia mecânica se conservando.

Vamos chamar de E i i a energia mecânica imediatamente antes da colisão entre o disco e o bloco; e E i i i a energia mecânica imediatamente após a colisão:

E i i = E i i i

Antes da colisão, o bloco tá parado, então K i i b l o c o = 0 , já o disco tem velocidade (que calculamos no passo acima), portanto K i i d i s c o = m v i i 2 .

Tem variação da energia potencial gravitacional? Não né...Porque durante a colisão não há variação na altura. O enunciada fala pra gente que após a colisão, o disco para, então K i i i d i s c o = 0 . E estamos querendo sabe a velocidade do bloco após a colisão, ou seja, nossa incógnita é v i i i b l o c o .

E i i = E i i i

K i i d i s c o = K i i i b l o c o

m v i i 2 = m v i i i d i s c o 2

Opa! As massas são iguais. Então a velocidade do bloco é igual a do disco, que a gente calculou no passo anterior:

v i i i d i s c o = 6,32   m / s

E aí? Acabou?

É sempre bom dar uma olhada no que a questão tava te pedindo, só pra conferir se fizemos o que ela queria.

E a questão está pedindo v i i i → d i s c o . VETOR!

O disco vai andar na horizontal para a direita, então:

v i i i → d i s c o = 6,32   î m / s

Show??Agora tá tudo certo!

Passo 6

c)

A colisão demora um pouquinho, certo? Nesse tempinho o bloco, que tavaparado leva um empurrão do disco e ganha uma velocidade. Até aqui beleza?

Mas se o disco empurra o bloco, então o bloco também empurra o disco. Esse empurrão que o bloco dá no disco é o responsável por fazer a velocidade do disco ir pra zero depois da colisão.

A força média, que é o que ele está pedindo, é a razão entre a variação do momento linear (jáque tem uma variação de velocidade) sobre o tempo da colisão:

F m → = ∆ p → ∆ t

Só temos que ficar atentos no enunciado! Olha o que ele tá pedindo: F m → que o bloco faz no pêndulo durante a colisão. Então é a variação de velocidade de quem? Do pêndulo!!!

Ou seja, do disco!

F m → = m 0 - m v i i i → d i s c o 0,01

F m → = - 1 ⋅ 6,32 0,01 ( î )

F m → = - 632 î   N

Maravilha, vamos pra próxima.

Passo 7

d)

Então, agora que o bloco tem uma velocidade, ele vai andando na superfície. Mas como essa superfície tem atrito, em algum momento ele vai parar. O atrito é uma força dissipativa que está roubando a energia do bloco.

Vamos ver a que distância isso ocorre, pra isso vamos usar o teorema trabalho x energia cinética.

W a t r i t o = ∆ K b l o c o

F a t   d   c o s α = m 2 ( 0 - v i i i 2 b l o c o )

Lembrando que: F a t = μ C N = μ C m g = 0,1 ⋅ 1 ⋅ 10 = 1 N

Além disso, o deslocamento e a força de atrito apontam em sentidos opostor, então o ângulo entre eles é π . E a v i i i b l o c o = 6,32   m / s

1 ⋅ d ⋅ - 1 = 1 2 - 6,32 2

d = 20   m

Show?

Resposta

a) r C M → s i s t e m a = - 2 j ^ + 0,25 î

b)

v i i i → d i s c o = 6,32   î m / s

c)

F m → = - 632 î   N

d)

d = 20   m

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