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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 12b.

12. (1EE-2019.2) Considere a função f x = x x - 1

(b) Existe uma outra reta s tangente ao gráfico de f x e que é paralela à reta r do item anterior. Determine o ponto de tangência desta reta s com o gráfico de f x

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, queremos obter uma reta tangente a f que seja paralela à reta que calculamos no item anterior.

E aí, como podemos fazer isso?

O que faz uma equação ser paralela a outra, é dizer que o coeficiente angular é o mesmo.

No item anterior, calculamos a derivada de f e vimos que a derivada e f aplicada em um ponto do domínio de f resulta no coeficiente angular da reta tangente daquele ponto.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 2

Então o que temos que fazer é fazer o caminho contrário... já temos o coeficiente angular, mas agora queremos obter um outro valor de x que possui o mesmo resultado, ou seja

Se f ' x = - 1 x - 1 2   e f ' 3 = - 1 4

Igualamos f ' x a - 1 / 4 e obtemos os valores de x para que a igualdade seja possível

- 1 4 = - 1 x - 1 2

x - 1 2 = 4

x 2 - 2 x + 1 = 4

x 2 - 2 x - 3 = 0

Calculando as raízes desse polinômio por Bhaskara, temos

∆ = - 2 2 - 4 1 - 3 = 16

x = - - 2 ± ∆ 2 1 x 1 = 3 x 2 = - 1

Portanto, como x = 3 foi o ponto anterior, o outro ponto está em x = - 1

Calculando a imagem desse ponto, temos

f - 1 = - 1 - 1 - 1 = 1 2

Logo, o ponto que estamos procurando é

B = - 1 , 1 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

B = - 1 , 1 2

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