Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

b ) Calcule um valor aproximado para 3,02 2 + 3,97 2 .

Passo 1

Faaala gente bonita, tudo na paz por aí?

Essa questão parece um pouquinho largada quando lemos pela primeira vez, basicamente o enunciado nos pede para encontrar um valor aproximado para:

3,02 2 + 3,97 2

Mas, precisamos lembrar algumas coisas do item anterior. No item anterior recebemos a função dada por:

f x , y = x 2 + y 2

E, para encontrar o planto tangente a essa superfície no ponto ( 3,4 , 5 ) usamos que:

z = f ( x , y )

E, achamos:

- 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

Massa! Então pessoal a grande ideia aqui na aproximação é imaginar que estamos querendo calcular:

z = 3,02 2 + 3,97 2

muito próximo do ponto em que calculamos o plano tangente.

Como é muuuito próximo, vamos aproximar que esse ponto está sobre o próprio plano e assim usamos x = 3,02 e y = 3,97 pra calcular z . Sacaram a ideia?

Vamo nessa!

Passo 2

Bom, vimos que o plano tangente a superfície é dado por:

- 3 x 5 - 4 y 5 + z = 0

Logo:

z = 3 x 5 + 4 y 5

Assim, para aproximarmos:

z = 3,02 2 + 3,97 2

Podemos substituir na expressão do plano x = 3,02 e y = 3,97 .

Vamos ter:

z = 3 5 ⋅ 3,02 + 4 5 ⋅ 3,97  

Logo, encontramos que:

z = 1,812 + 3,176

z = 4,988

Olha que top! Se a gente testar na calculadora pra saber qual seria o valor real de

3,02 2 + 3,97 2

encontraríamos:

3,02 2 + 3,97 2 = 4,98812

Ou seja, essa aproximação realmente foi muito boaaa 😊

É isso pessoal, curtiram a solução? Responde Aí!

Resposta

4,988

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