Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a curva γ t = α t ,   β t ,   com γ 0 = 1,2 , e a função f x , y = x 3 y 3 - x y . Suponha que γ ' 0 ≠ ( 0,0 ) e que f   ∘ γ t = 6 para todo t ∈ D γ . Determine:

d )   A equação da reta tangente a γ em γ 0 = ( 1,2 ) .

Passo 1

Ooi galerinha, como vocês estão?

Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:

f x , y = x 3 y 3 - x y

Como também uma curva já parametrizada dada por:

γ t = α t ,   β t

Aqui precisamos calcular a equação da reta tangente a γ em γ 0 = ( 1,2 ) .

Ou seja, temos a curva parametrizada por γ t e precisamos calcular a equação da reta tangente a essa curva no ponto ( 1,2 ) .

Para fazer isso, devemos buscar encontrar a equação da reta tangente dada por:

r t = P 0 + v → t

O ponto P 0 é um ponto pertencente a reta, que no nosso caso já podemos utilizar ( 1,2 ) .

O vetor v → é um vetor na direção da reta.

Para descobri-lo, devemos lembrar que uma das propriedades do vetor gradiente é ser normal à curva de nível. Assim, ele deve ser normal ao vetor diretor, beleza?

Massa! Vamos usar essas informações que vai dar certo 😊

Passo 2

Bom, precisamos calcular o vetor diretor da reta.

Vimos nos itens anteriores que o vetor gradiente no ponto ( 1,2 ) é dado por:

∇ f 1,2 = ( 22,11 )

Assim, temos que o vetor diretor v → , por ser ortogonal ao vetor gradiente, deve obedecer:

∇ f 1,2 ⋅ v → = 0

22,11 ⋅ a , b = 0

∴ 22 a + 11 b = 0

⇒ b = - 2 a

Assim:

v → = a , - 2 a

= ( 1 , - 2 )

Excelente! Daí, podemos apenas voltar para a equação da reta que vimos no passo anterior:

r t = P 0 + v → t

Logo:

r t = 1,2 + 1 , - 2 t

Prontinho! É isso então pessoal!

Até a próxima 😊

Resposta

r t = 1,2 + 1 , - 2 t

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