UFF, Sem Campus, Cálculo IIB, 2ª VE - Prof. Sérgio Almaraz - 2014.2, Questão 4d
Considere a curva com e a função . Suponha que e que para todo . Determine:
A equação da reta tangente a em .
Passo 1
Ooi galerinha, como vocês estão?
Nessa questão recebemos uma função de duas variáveis dada por:
Como também uma curva já parametrizada dada por:
Aqui precisamos calcular a equação da reta tangente a em .
Ou seja, temos a curva parametrizada por e precisamos calcular a equação da reta tangente a essa curva no ponto .
Para fazer isso, devemos buscar encontrar a equação da reta tangente dada por:
O ponto é um ponto pertencente a reta, que no nosso caso já podemos utilizar .
O vetor é um vetor na direção da reta.
Para descobri-lo, devemos lembrar que uma das propriedades do vetor gradiente é ser normal à curva de nível. Assim, ele deve ser normal ao vetor diretor, beleza?
Massa! Vamos usar essas informações que vai dar certo 😊
Passo 2
Bom, precisamos calcular o vetor diretor da reta.
Vimos nos itens anteriores que o vetor gradiente no ponto é dado por:
Assim, temos que o vetor diretor , por ser ortogonal ao vetor gradiente, deve obedecer:
Assim:
Excelente! Daí, podemos apenas voltar para a equação da reta que vimos no passo anterior:
Logo:
Prontinho! É isso então pessoal!
Até a próxima 😊