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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UFPE, Sem Campus, Cálculo 1, Listas de Cálculo 1 - Lista 2 de Exercícios, Questão 9.

9. Mostre que as circunferências x 2 + y 2 + 2 x + y = 10 e x - 6 2 + y - 3 2 = 20 são tangentes no ponto 2 ,   1 .

Passo 1

Fala aí!! Bem-vindo! Está tendo um pouco de dificuldades nessa questão? Não se preocupe vou fazer o máximo pra te ajudar. 😉👍

Nesse problema, temos que mostrar que as curvas x 2 + y 2 + 2 x + y = 10 e x - 6 2 + y - 3 2 = 20 são tangentes no ponto P = 2 , 1 .

E aí, tem ideia de como fazer isso? 🤔

O que é a função que representa a tangência de uma curva em um ponto? A derivada dessa curva, não é? 😉

Então para mostrar que a curva C 1 : x 2 + y 2 + 2 x + y = 10 e a curva C 2 :   x - 6 2 + y - 3 2 = 20 são tangentes, temos que calcular o vetor unitário do gradiente de C 1 e C 2 e substituir o ponto P . Se resultar no mesmo valor, então as curvas são tangentes...

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Passando todos os termos para um lado da igualdade em C 1 e C 2 , temos

x 2 + y 2 + 2 x + y = 10 → C 1 = x 2 + y 2 + 2 x + y - 10

x - 6 2 + y - 3 2 = 20 → C 2 = x 2 - 12 x + y 2 - 6 y + 25

Calculando as derivadas de C 1 e C 2 ...

∇ C 1 = ∂ C 1 ∂ x , ∂ C 1 ∂ y

Pelo método de derivação polinomial

∂ C 1 ∂ x = 2 x 2 - 1 + 0 + 2 + 0 - 0 = 2 x + 2

∂ C 1 ∂ y = 0 + 2 y 2 - 1 + 0 + 1 - 0 = 2 y + 1

Para C 2 , temos

∇ C 2 = ∂ C 2 ∂ x , ∂ C 2 ∂ y

Pelo mesmo método de derivação

∂ C 2 ∂ x = 2 x 2 - 1 - 12 + 0 - 0 + 0 = 2 x - 12

∂ C 2 ∂ y = 0 - 0 + 2 y 2 - 1 - 6 + 0 = 2 y - 6

Assim ∇ C 1 e ∇ C 2 são dados por

∇ C 1 = 2 x + 2 , 2 y + 1 ,     ∇ C 2 = 2 x - 12 , 2 y - 6

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Substituindo as coordenadas do ponto P em ∇ C 1 e em ∇ C 2 , vamos obter que

P = 2 , 1 → ∇ C 1 = 2 2 + 2 , 2 1 + 1 ∇ C 2 = 2 2 - 12 , 2 1 - 6

P = 2 , 1 → ∇ C 1 2 , 1 = 6,3 ∇ C 2 2 , 1 = - 8 , - 4

Dividindo ∇ C 1 2 , 1 e ∇ C 2 2 , 1 pelo seu modulo para obter o vetor unitário, chagamos em

∇ C 1 2 , 1 ∇ C 1 2 , 1 = 6,3 6 2 + 3 2 ,     ∇ C 2 2 , 1 ∇ C 2 2 , 1 = - 8 , - 4 - 8 2 + - 4 2

∇ C 1 2,1 ∇ C 1 2,1 = 6,3 36 + 9 ,     ∇ C 2 2,1 ∇ C 2 2,1 = - 8 , - 4 64 + 16

∇ C 1 2,1 ∇ C 1 2,1 = 6,3 45 ,     ∇ C 2 2,1 ∇ C 2 2,1 = - 8 , - 4 80

∇ C 1 2,1 ∇ C 1 2,1 = 6,3 3 5 ,     ∇ C 2 2,1 ∇ C 2 2,1 = - 8 , - 4 4 5

∇ C 1 2 , 1 ∇ C 1 2 , 1 = 2 5 , 1 5 ,     ∇ C 2 2 , 1 ∇ C 2 2 , 1 = - 2 5 , - 1 5

Perceba que ∇ C 1 2,1 ∇ C 1 2,1 = - ∇ C 2 2,1 ∇ C 2 2,1 . Para essa análise, isso não faz diferença, apenas que o vetor está indo para o sentido contrário.

Por fim, temos que verificar se C 1 e C 2 possuem o mesmo valor em 1,1

Isolando y e fazendo x = 2

C 1 1 , y :   2 2 + y 2 + 2 2 + y = 10 → y = 1

C 2 1 , y :   2 - 6 2 + y - 3 2 = 20 → y = 1

Assim, como ∇ C 1 2 , 1 ∇ C 1 2 , 1 = - ∇ C 2 2 , 1 ∇ C 2 2 , 1 e as imagens das curvas são as mesmas, então C 1 e C 2 são tangentes no ponto P = 2 , 1

É isso! Essa resolução te ajudou? Responde Aí! ✌

Resposta

∇ C 1 2,1 ∇ C 1 2,1 = - ∇ C 2 2,1 ∇ C 2 2,1

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