UFPE, Sem Campus, Cálculo 3, Listas de Exercícios de Cálculo 3 - Profº Cilon Perusato - Lista 1, Questão 6
Encontre a equação da reta tangente da curva parametrizada por e no ponto . Faça a questão de duas maneiras: eliminando o parâmetro e sem eliminá-lo.
Passo 1
Fala, galera! Vamos resolver essa questão.
O enunciado nos deu uma curva paramétrica definida por e , no ponto . Nós precisamos encontrar a equação da reta tangente dessa curva sem eliminar o parâmetro e eliminando o parâmetro.
Bom, a regra da Cadeia nos diz que . Se , podemos isolar assim:
Essa equação nos permite calcular a inclinação da tangente para uma curva paramétrica sem ter que eliminar o parâmetro .
Uma outra forma de fazer, seria isolar na equação e substituir em para, em seguida, calcular a reta tangente da equação. Das duas formas nós vamos chegar a equação da reta tangente na forma:
Onde . Vamos lá!
Passo 2
Vamos começar calculando sem eliminar o parâmetro . Calculando em , temos:
Calculando em , temos:
Juntando tudo na expressão da reta tangente:
Fazendo a divisão de frações:
Agora a gente precisa descobrir o valor do parâmetro no ponto que tangencia . Para isso, basta igualar o ponto à parametrização da curva e resolver o sistema:
Da primeira equação tiramos , substituindo no vetor tangente:
Assim, a equação da reta tangente fica:
Passo 3
Agora vamos isolar na equação e substituir em .
Aplicando a exponencial dos dois lados da equação, temos:
Vamos então substituir na equação :
Derivando em relação a , temos nossa reta tangente:
No ponto que tangencia a curva em , temos:
Assim, a equação da reta tangente no ponto será:
Repare que é o mesmo resultado que nós obtivemos no passo .
Valeu, galera! Até a próxima! 😉