Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Seja C a curva dada pela interseção dos gráficos das funções

f x , y = x 2 - y ²

g x , y = 1 - x 2 - 2 y ²

  1. Determine uma parametrização para C .
  2. Determine, caso existam, todos os pontos de C nos quais a reta tangente é paralela ao eixo O x . Escreva a equação da reta tangente em tais pontos.

Passo 1

a )

Antes de mais nada, temos que ver que as funções f e g definem superfícies. Assim

f x , y = z = x 2 - y ²

É um paraboloide hiperpólico.

E

g x , y = z = 1 - x 2 - 2 y ²

É um paraboloide elíptico.

Relaxa, você não precisava saber o nome dessas superfícies. Você só precisa saber que essas funções definem superfícies ( z = alguma coisa).

Para parametrizar a curva C , vamos primeiro fazer a interseção entre essas superfícies.

Igualando as duas expressões, temos

x 2 - y 2 = 1 - x 2 - 2 y ²

2 x 2 + y 2 = 1

Que é a expressão de uma elipse.

Assim, a projeção da curva de interseção, no plano z = 0 , é uma elipse.

Passo 2

Para parametrizar essa elipse, vamos escrever sua expressão de outra forma:

x 2 1 2 + y 2 = 1

x 1 2 2 + y 2 = 1

A parametrização da elipse é:

x t = x 0 + a cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Assim, temos

x t = 0 + 1 2 cos ⁡ t ⇒ x t = 2 2 cos ⁡ t

y t = 0 + 1 sen ⁡ t   ⇒ y ( t ) = sen ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Por fim, temos ainda que substituir essas parametrizações na variável z . Assim:

z ( t ) = x t 2 - y ( t ) ²

z ( t ) = 2 2 cos ⁡ t ² - sen ⁡ t 2

z t = cos 2 ⁡ t 2 - sen ² ⁡ t

Passo 3

Então a curva σ ( t ) resultante da interseção das duas superfícies pode ser expressa da seguinte forma:

σ t = x t ,   y t ,   z t

σ t = 2 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   cos 2 ⁡ t 2 - sen ² ⁡ t

t ∈ [ 0 ,   2 π ]

Passo 4

b )

Para a reta tangente a curva C ser paralela ao eixo O x , temos que o vetor diretor da reta (que é o vetor σ ' t 0 )   tem que ser paralelo ao vetor diretor do eixo O x (que é o vetor ( 1,0 , 0 ) ).

Assim

σ ' t 0 = λ ( 1,0 , 0 )

-   2 2 sen ⁡ t , cos ⁡ t , - cos ⁡ t . sen ⁡ t - 2 cos ⁡ t . sen ⁡ t = λ ( 1,0 , 0 )

-   2 2 sen ⁡ t 0 , cos ⁡ t 0 , - 3 cos ⁡ t 0 . sen ⁡ t 0 = λ ( 1,0 , 0 )

Assim, temos que, para algum valor de λ ,

-   2 2 sen ⁡ t 0 = λ

cos ⁡ t 0 = 0

- 3 cos ⁡ t 0 . sen ⁡ t 0 = 0

Isso só é verdade se

t 0 = π 2 ou t 0 = 3 π 2

Passo 5

Para descobrir os pontos da reta correspondentes a esses valores de t 0 , fazemos:

Para t 0 = π 2 :

σ t 0 = σ π 2

σ π 2 = 2 2 cos ⁡ π 2 , sen ⁡ π 2 ,   cos 2 ⁡ π 2 2 - sen ² ⁡ π 2 = ( 0,1 , - 1 )

E, para t 0 = 3 π 2 :

σ t 0 = σ 3 π 2

σ 3 π 2 = 2 2 cos ⁡ 3 π 2 , sen ⁡ 3 π 2 ,   cos 2 ⁡ 3 π 2 2 - sen ² ⁡ 3 π 2 = ( 0 , - 1 , - 1 )

Passo 6

Agora, a parametrização da reta tangente a curva é dada por

r t = σ t 0 + σ ' t 0 ⋅ t

Como temos dois valores de t 0 em que a reta tangente atende a condição desejada de ser paralela ao eixo O x , teremos duas expressões para a reta tangente. Uma para cada ponto.

Já sabemos que

σ ' t 0 = λ ( 1,0 , 0 )

Então, não precisamos calcular o valor de σ ' ( t 0 ) para cada um dos valores de t 0 , pois já sabemos que deve ser múltiplo do vetor ( 1,0 , 0 ) .

Assim, para t 0 = π 2 , a expressão da reta tangente é

r t = ( 0,1 , - 1 ) + λ ( 1,0 , 0 )

E, para t 0 = 3 π 2 , a expressão da reta tangente é

r t = ( 0 , - 1 , - 1 ) + λ ( 1,0 , 0 )

Repare que em vez de escolhermos o t como parâmetro, escolhemos o λ . Mas no fim, não faz diferença alguma, né?! Só mudamos a letra, mas a ideia de ser um parâmetro continua!

Resposta

  1. σ t = 2 2 cos ⁡ t , sen ⁡ t ,   cos 2 ⁡ t 2 - sen ² ⁡ t

    t ∈ [ 0 ,   2 π ]

σ π 2 = ( 0,1 , - 1 )

r t = ( 0,1 , - 1 ) + λ ( 1,0 , 0 )

E

σ 3 π 2 = ( 0 , - 1 , - 1 )

r t = ( 0 , - 1 , - 1 ) + λ ( 1,0 , 0 )

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