Seja a curva dada pela interseção dos gráficos das funções
- Determine uma parametrização para .
- Determine, caso existam, todos os pontos de nos quais a reta tangente é paralela ao eixo . Escreva a equação da reta tangente em tais pontos.
Passo 1
Antes de mais nada, temos que ver que as funções e definem superfícies. Assim
É um paraboloide hiperpólico.
E
É um paraboloide elíptico.
Relaxa, você não precisava saber o nome dessas superfícies. Você só precisa saber que essas funções definem superfícies (alguma coisa).
Para parametrizar a curva , vamos primeiro fazer a interseção entre essas superfícies.
Igualando as duas expressões, temos
Que é a expressão de uma elipse.
Assim, a projeção da curva de interseção, no plano , é uma elipse.
Passo 2
Para parametrizar essa elipse, vamos escrever sua expressão de outra forma:
A parametrização da elipse é:
Assim, temos
Por fim, temos ainda que substituir essas parametrizações na variável . Assim:
Passo 3
Então a curva resultante da interseção das duas superfícies pode ser expressa da seguinte forma:
Passo 4
Para a reta tangente a curva ser paralela ao eixo , temos que o vetor diretor da reta (que é o vetor tem que ser paralelo ao vetor diretor do eixo (que é o vetor ).
Assim
Assim, temos que, para algum valor de ,
Isso só é verdade se
ou
Passo 5
Para descobrir os pontos da reta correspondentes a esses valores de , fazemos:
Para :
E, para :
Passo 6
Agora, a parametrização da reta tangente a curva é dada por
Como temos dois valores de em que a reta tangente atende a condição desejada de ser paralela ao eixo , teremos duas expressões para a reta tangente. Uma para cada ponto.
Já sabemos que
Então, não precisamos calcular o valor de para cada um dos valores de , pois já sabemos que deve ser múltiplo do vetor .
Assim, para , a expressão da reta tangente é
E, para , a expressão da reta tangente é
Repare que em vez de escolhermos o como parâmetro, escolhemos o . Mas no fim, não faz diferença alguma, né?! Só mudamos a letra, mas a ideia de ser um parâmetro continua!
Resposta
E