Determine a reta normal da curva
no ponto correspondente a
Passo 1
Vamos determinar a reta normal exatamente como o plano normal em Cálculo 2! A diferença é que como estamos num mundo 2D, dessa vez nao teremos um plano, mas uma reta, porque perdemos uma dimensão!
Primeiro, comecemos encontrando esse ponto de tangência. Basta colocar o parâmetro dado na equação da curva!
Assim, nosso ponto é
Passo 2
Agora, vamos derivar a equação e encontrar o vetor tangente a reta quando o parâmetro é
Passo 3
Colocando o parâmetro, fica...
Assim, nosso vetor tangente à curva no ponto dado é
Passo 4
Perfeito! Agora temos o vetor tangente à curva no ponto que calculamos. Para encontrar a reta normal à curva, basta encontrarmos o vetor perpendicular ao vetor tangente!
Podemos definir um vetor como a diferença entre dois pontos. Portanto, como não sabemos qual é esse vetor normal, mas sabemos que ele passa pelo ponto , vamos subtrair este ponto de outro, genérico, que ainda vamos descobrir. Assim, nosso vetor normal é
Passo 5
Agora podemos fazer que o produto escalar entre o vetor tangete e normal é 0, pois são perpendiculares:
Continuando a resolver a equação....
Esse resultado nos diz que qualquer ponto sobre a reta pode ser candidato para outra extremidade do nosso vetor! Perceba que o ponto também está nessa reta!! Existem milhões de vetores equivalentes, pasta pegar dois pontos dessa reta e diminuir um do outro!
Passo 6
Vamos, então, parametrizar (esticando ele, pra virar uma reta) nosso vetor (muito simples mesmo)
Como , podemos parametrizar assim:
porque e tem sempre o mesmo valor!!
Passo 7
Para definir uma reta precisamos apenas de um ponto e de um vetor! Pela definição, temos que esticar esse vetor (parametrizando-o), e depois somar um ponto por onde essa reta passe:
Como ja temos o vetor normal esticado, basta somar a ele o ponto por onde deve passar,