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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

UnB, Sem Campus, Cálculo 2, P1 - 2008.2, Questão 1

1) Determinar as retas normais da curva

y = 2 1 + x 2

que passam pela origem

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Nesse problema estamos interessados em obter as retas normais a y que passam pela origem.

Como vamos fazer isso? 🤔

A função y é dada por

y = 2 1 + x 2

E para obter a reta normal a essa função, existe uma regrinha dada por

f x = - 1 y ' x - x 0 + f x 0

Sacou? Bora ver como é na prática! 😉

Passo 2

Primeiro vamos obter a derivada de y pela regra do quociente

g x = h x p x →     g ' x = h ' x · p x - h x · p ' x p x 2

Lembra disso?

y ' = d 2 d x · 1 + x 2 - 2 · d 1 + x 2 d x 1 + x 2 2

Pelo método de derivação polinomial, temos

y ' = 0 · 1 + x 2 - 2 · 2 x 1 + x 2 2

y ' = - 4 x 1 + x 2 2

Obtendo o ponto f x 0 , ou seja, a origem do sistema...

f x 0 = 0

Tranquilo até aqui? 😊

Passo 3

Substituindo essas informações em f x , temos

f x = - 1 y ' x - 0 + f 0

f x = - 1 - 4 x 0 1 + x 0 2 2 x - 0 + 0

f x = 1 + x 0 2 2 4 x 0 x

Agora precisamos obter os valores de x 0 da função y que satisfazem a equação f x = y

1 + x 2 2 4 x x = 2 1 + x 2

1 + x 2 3 4 = 2

1 + x 2 3 = 8

x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 1 = 8

x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 - 7 = 0

Essa equação tiramos que x = 1 e x = - 1 são os valores de x 0 na função y , ou seja, as retas normais a y que passam pela origem, são

f x = 1 + 1 2 2 4 1 x = 4 4 x

f x = x

f x = 1 + - 1 2 2 4 - 1 x = 4 - 4 x

f x = - x

E da equação f x = 1 + x 0 2 2 4 x 0 x = 0 , tiramos que x 0 = 0 se x = x 0 , então

f x = 1 + 0 2 4 0 x

f x = ∞ x ,     x = 0

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x = x

f x = - x

x = 0

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