Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Seja C a curva fechada dada pela interseção das superfícies de equações cartesianas z = x y e x 2 + y 2 = r 2 (Fig. 1).

( c ) Determine os pontos da curva C onde a reta tangente é horizontal (paralela ao plano x y ).

Passo 1

Eaew, tudo certinho contigo?

Temos uma curva C obtida pela interseção entre as superfícies z = x y e x 2 + y 2 = r 2 , a interseção ocorre como na figura

precisamos encontrar os pontos no qual a reta tangente a curva C é horizontal (paralela ao plano x y ) isso ocorre quando o vetor inclinação da reta é perpendicular ao versor k ^ que indica a direção z , ou seja, queremos que

α ' ( t ) ⋅ k ^ = 0

nas alternativas anteriores obtivemos que

α ( t ) = ( r   c o s ( t ) ,   r   s e n ( t ) ,   r 2   c o s ( t )   s e n ( t ) )

e, também que

α ' ( t ) = ( - r   s e n ( t )   , r   c o s ( t ) ,   - r 2   s e n 2 ( t ) + r 2 c o s 2 ( t ) )

Vamos aplicar a condição e obter os nossos pontos! Saca só!

Passo 2

Usando que k ^ = ( 0,0 , 1 ) , podemos expandir o produto escalar para obter

( - r   s e n ( t )   , r   c o s ( t ) ,   - r 2   s e n 2 ( t ) + r 2 c o s 2 ( t ) ) ⋅ ( 0,0 , 1 ) = r 2 c o s 2 ( t ) - r 2 s e n ( t )

como precisamos que o resultado seja 0 , podemos escrever

c o s 2 ( t ) = s e n 2 ( t )

essa igualdade é verdadeira para diversos valores de t ⊂ [ 0,2 π ] , tais como

t ∈ { π 4 , 3 π 4 , 5 π 4 , 7 π 4 } ⊂ [ 0,2 π ]

os quatro pontos podem ser escritos então como

α ( π / 4 ) = 2 2 ( r   ,   r ,   2 2 r 2 )

α ( 3 π / 4 ) = 2 2 ( - r   ,   r , -   2 2 r 2 )

α ( 5 π / 4 ) = 2 2 ( - r   , -   r ,   2 2 r 2 )

α ( 7 π / 4 ) = 2 2 ( r   , -   r ,   - 2 2 r 2 )

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

α ( π / 4 ) = 2 2 ( r   ,   r ,   2 2 r 2 )

α ( 3 π / 4 ) = 2 2 ( - r   ,   r , -   2 2 r 2 )

α ( 5 π / 4 ) = 2 2 ( - r   , -   r ,   2 2 r 2 )

α ( 7 π / 4 ) = 2 2 ( r   , -   r ,   - 2 2 r 2 )

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