Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere

γ t = 2 2 cos ⁡ 2 t , 3 2 sen ⁡ 2 t , e t - π 8   , 0 ≤   t ≤ π 4

Exiba a equação paramétrica da reta r tangente γ em ( 2,3 , 1 ) .

Passo 1

Primeiro precisamos encontrar o valor de t 0 correspondente ao ponto ( 2,3 , 1 ) :

γ t 0 = 2 2 cos ⁡ 2 t 0 , 3 2 sen ⁡ 2 t 0 , e t 0 - π 8 = ( 2,3 , 1 )

Igualando as coordenadas:

2 2 cos ⁡ 2 t 0 = 2

3 2 sen ⁡ 2 t 0 = 3

e t 0 - π 8 = 1

Pela ultima equação, sabendo que todo número elevado a zero é 1, concluímos que

t 0 - π 8 = 0 ⇒ t 0 = π 8

E esse resultado também satisfaz as outras duas equações.

Passo 2

Agora vamos encontrar a reta tangente γ em ( 2,3 , 1 ) .

Para isso, temos que calcular a derivada de γ :

γ ' t = - 2 2 sen ⁡ 2 t . 2 ,   3 2 cos ⁡ 2 t . 2 , e t - π 8

γ ' t = - 4 2 sen ⁡ 2 t ,   6 2 cos ⁡ 2 t , e t - π 8

Substituindo em t 0 = π 8 , temos

γ ' π 8 = - 4 2 sen ⁡ 2 π 8 ,   6 2 cos ⁡ 2 π 8 , e π 8 - π 8

γ ' π 8 = - 4 2 sen ⁡ π 4 ,   6 2 cos ⁡ π 4 , e 0

γ ' π 8 = - 4 2 2 2 , 6 2 2 2 , 1

γ ' t 0 = - 4 , 6 , 1

Passo 3

Assim, a equação paramétrica da reta tangente a γ em ( 2,3 , 1 ) é

r t = γ t 0 + γ ' t 0 ⋅ t

r t = γ π 8 + γ ' π 8 ⋅ t

r t = ( 2,3 , 1 )   + - 4 , 6 , 1 . t

    t ∈ R

Resposta

r t = ( 2,3 , 1 )   + - 4,6 , 1 . t

    t ∈ R

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