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Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

Considere a esfera x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1 e a parte de cone x 2 + y 2 - z 2 = 0 com z ≥ 0 . Seja C a curva dada pela intersecção destas superfícies.

  1. Determine uma parametrização para a curva C , explicitando seu domínio.
  2. Escreva a equação da reta tangente à curva no ponto P = 0 ,   1 ,   1 .
  3. Determine os pontos sobre a curva C mais distantes da origem.

Passo 1

a)

Esse passo a passo tem que estar no sangue! Primeiro, identificamos as equações das duas superfícies. Nesse caso está bem explícito:

x 2 + y - 1 2 + z 2 = 1

x 2 + y 2 - z 2 = 0

Passo 2

Agora, isolamos uma variável de uma das equações. Vale ressaltar que não devemos obrigatoriamente isolar x ,   y ou z , podemos também isolar qualquer outra expressão conveniente que apareça nas duas equações.

Nesse caso, podemos isolar z 2 por exemplo. Pela segunda equação, temos

z 2 = x 2 + y 2

Passo 3

Daí basta substituir na outra equação:

x 2 + y - 1 2 + x 2 + y 2 = 1

Ajeitando isso:

x 2 + y 2 - 2 y + 1 + x 2 + y 2 = 1

2 x 2 + 2 y 2 - 2 y = 0

Dividindo tudo por 2 :

x 2 + y 2 - y = 0

Agora, pra gente se livrar dessa expressão chata “ y 2 - 2 y ”, completamos o quadrado:

y 2 - y = y - 1 2 2 - 1 4

Ou seja, vamos ter

x 2 + y 2 - y = 0 ⇔ x 2 + y - 1 2 2 - 1 4 = 0

Logo,

x 2 + y - 1 2 2 = 1 4

Passo 4

Antes de sair parametrizando, é legal entender o que é essa curva. Como eliminamos a variável z , ela é a projeção no plano x y da nossa curva C .

Agora o lance é achar parametrizações para x e y , e depois basta substituir z 2 = x 2 + y 2 pra achar a parametrização de z . Juntando tudo obtemos uma parametrização da curva C ! Suave? :)

Enfim, caímos numa expressão boa de se trabalhar! Reconheceu a equação de uma circunferência? Mais precisamente uma circunferência de raio 1 / 4   = 1 / 2 e centrada em 0 , 1 2 .

Então uma possível parametrização para x e y é:

x t ,   y t = 1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t + 1 2

Passo 5

Temos z 2 = x 2 + y 2 . E como z ≥ 0 :

z = x 2 + y 2

Ou seja:

z = 1 2 cos ⁡ t 2 + 1 2 sen ⁡ t + 1 2 2

z = 1 4 cos 2 ⁡ t + 1 4 sen 2 ⁡ t + 1 2 sen ⁡ t + 1 4

z = 1 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 1 4 + 1 2 sen ⁡ t

⇒ z = 1 2 + 1 2 sen ⁡ t

Ufa, achamos uma expressão pra z .

Passo 6

Portanto, uma possível parametrização γ t da curva C é:

γ t = 1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t + 1 2 , 1 2 + 1 2 sen ⁡ t  

Uma coisa muito importante, e que inclusive foi pedida no enunciado, é o domínio da parametrização!!

Como o seno e o cosseno têm período 2 π , podemos botar t variando em qualquer intervalo de tamanho 2 π que vai servir. Como não gostamos de complicar nossa vida à toa, podemos simplesmente definir:

t ∈ 0 ,   2 π

Passo 7

b)

Bem, se ele quer a equação da reta tangente no ponto 0 ,   1 ,   1 então fatalmente esse ponto está na curva C . E felizmente achamos uma parametrização pra curva C .

Então temos algum t para o qual γ t = 0 ,   1 ,   1 . Ou seja:

1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t + 1 2 , 1 2 + 1 2 sen ⁡ t   = 0 ,   1 ,   1

Vemos que cos ⁡ t = 0 , portanto t = π 2 (lembrando que t ∈ 0 , π 2 ).

Passo 8

E por que fizemos isso? Ora bolas, porque isso significa que o vetor tangente à curva C em 0 ,   1 ,   1 é γ ' π 2 . E ele é o vetor diretor da nossa reta tangente!

Então temos que derivar γ t :

γ ' t = - 1 2 sen ⁡ t , 1 2 cos ⁡ t ,   ? ? ?

Perai, essa coordenada z   ficou meio zuada de derivar, vamos fazer separado:

d d t 1 2 + 1 2 sen ⁡ t = 1 2 1 2 + 1 2 sen ⁡ t - 1 2 1 2 cos ⁡ t

= cos ⁡ t 2.2 1 2 sen ⁡ t + 1 2 = cos ⁡ t 4 1 2 sen ⁡ t + 1 2

Ok, então temos

γ ' t = - 1 2 sen ⁡ t , 1 2 cos ⁡ t ,   cos ⁡ t 4 1 2 sen ⁡ t + 1 2

Passo 9

Beleza, e em t = π 2 :

γ ' π 2 = - 1 2 ,   0 ,   0

Resumindo, a reta tangente passa pelo ponto 0 ,   1 ,   1 e esse vetor aqui em cima é seu vetor diretor. Agora é só partir pro abraço! A equação da reta é:

r λ = 0 ,   1 ,   1 + λ - 1 2 ,   0 ,   0 ,   λ ∈ R

Observação 1: botei λ e não t como fazemos de costume pra não confundir com o t da parametrização da C .

Observação 2: como λ ∈ R , na verdade podemos simplesmente escrever

r λ = 0 ,   1 ,   1 + λ ,   0 ,   0 ,   λ ∈ R

Da mesma forma, temos que a coordenada x varia a vontade, enquanto as coordenadas y e z ficam constantes.

Passo 10

c)

Hmm, meio aleatória essa questão...mas vamos lá!

O lance aqui definir a função “distância dos pontos da curva C à origem”. E a distância de um ponto com coordenadas x ,   y ,   z à origem é dada por x 2 + y 2 + z 2 , né?

Então pronto, basta substituir a nossa parametrização γ t aí!

A distância vai ser esse bicho feio aqui:

1 2 cos ⁡ t 2 + 1 2 + 1 2 sen ⁡ t 2 + 1 2 + 1 2 sen ⁡ t 2

= 1 4 cos 2 ⁡ t + 1 4 + 1 2 sen ⁡ t + 1 4 sen 2 ⁡ t + 1 2 + 1 2 sen ⁡ t

= 1 4 cos 2 ⁡ t + sen 2 ⁡ t + 1 4 + 1 2 + sen ⁡ t 1 2 + 1 2

= 1 + sen ⁡ t

Passo 11

A função raiz quadrada é sempre crescente, então essa distância vai ser a maior quando sen ⁡ t for maior. E o seno é máximo para t = π 2 , quando ele vale 1 .

Portanto, o ponto da curva C mais distante da origem é simplesmente γ π 2 = 0 ,   1 ,   1 .

Tranquilo? :)

Resposta

a)

γ t = 1 2 cos ⁡ t , 1 2 sen ⁡ t + 1 2 , 1 2 + 1 2 sen ⁡ t   ,   t ∈ 0 ,   2 π

b)

r λ = 0 ,   1 ,   1 + λ ,   0 ,   0 ,   λ ∈ R

c)

O ponto ( 0 ,   1 ,   1 ) .

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