Considere a superfície de equação . Seja a curva interseção de com o plano e a reta tangente a no ponto . Marque a opção que identifica a superfície , a curva e dá uma parametrização de , nessa ordem:
- Paraboloide circular, parábola e
- Elipsoide, elipse e
- Elipsoide, elipse e
- Paraboloide circular, circunferência e
- Paraboloide elíptico, elipse e
Passo 1
Ele pede coisas para gente: Identificar a superfície, identificar a curva de interseção com um plano e a equação da reta tangente a essa curva no ponto
Para identificar a superfície, a gente vai comparar a equação dada com as que a gente conhece.
Para identificar a curva, a gente pode fazer a interseção entre as equações do plano e da outra superfície e comparar o resultado com as curvas que a gente conhece.
E no final, a gente vai ter eliminado algumas alternativas, então podemos verificar se as equações que sobraram atendem as restrições de passar pelo ponto e ser tangente à curva nesse ponto.
Passo 2
A nossa superfície tem essa equação:
Percebemos que todas as variáveis estão positivas e elevadas ao quadrado. E que todas estão de um lado da equação e temos uma constante no lado oposto a elas. Essas são as características de um Elipsoide, tranquilo?
Passo 3
Pelas alternativas que sobraram já sabemos que essa curva é uma elipse. Olha a razão:
E isso é uma elipse em .
Passo 4
Sobraram duas retas. Vamos verificar a primeira condição: passar pelo ponto .
Da letra b temos:
Se fizermos , vemos que essa reta passa pelo ponto , olha só:
Agora olha a reta da letra c:
Vamos igualar ela ao ponto para ver se existe um que corresponda a :
Da segunda equação, a gente já vê que esse sistema não tem solução, então da letra c não passa pelo nosso ponto.
Nossa alternativa então é a que sobra: a letra b.
Resposta
Letra b