Exercícios Resolvidos de Reta Tangente e Normal a Curva

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Enunciado

(Capítulo 13.2 – Exercício 4)

(a) Esboce o gráfico da curva plana com a equação vetorial dada.

(b) Encontre r’(t)

(c) Esboce o vetor posição r(t) e o vetor tangente r’(t) para o valor dado de t.

r t = < t 2 , t 3 >   ,   t = 1

Passo 1

Oieeee gente!!

Vamos lá, nesse exercício, temos uma curva r ( t ) , e aí queremos:

- Esboçar o gráfico dessa curva

- Encontrar a derivada da curva

- Esboçar o vetor da curva no valor dado de t , junto com o vetor tangente

Vamosss que vai ser tranquilíssimo, blz?

Passo 2

Passo 3

a) Temos a curva:

r t = t 2 , t ³

Podemos escrever isso como equações paramétricas, assim:

x = t ² y = t ³

Sabendo que x = t ² , temos

x = t 2

Manipulando a expressão:

x = t 3 2 3

x = y 2 3

Então podemos escrever

x = y 2 / 3

Então essa é a nossa curva:

Passo 4

b) Agora queremos derivar a curva r ( t ) . A derivada do vetor r é dada pela derivada de cada componente individualmente:

r t = t 2 , t ³

r ' t = ( 2 t , 3 t 2 )

Fechou?

Passo 5

c) O vetor posição r ( t ) em t = 1 é

r 1 = ( 1,1 )

Por outro lado, o vetor tangente em t = 1 , tem origem no ponto (1,1) e é dado por

r ' 1 = ( 2,3 )

Então, podemos representar esses vetores conforme mostrado na figura abaixo:

E fimmm

Resposta

a)

b) r ' t = ( 2 t , 3 t 2 )

c)

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